Числа Лагранжа — это последовательность чисел, которые появляются в границах, связанных с приближением иррациональных чисел рациональными. Числа связаны с теоремой Гурвица.

Определение

править

Гурвиц улучшил критерий Дирихле иррациональности до утверждения, что вещественное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p/q, (в несократимом виде), таких, что

 

У Дирихле в правой части стояло 1/q2. Вышеприведённый результат является наилучшим, поскольку золотое сечение φ является иррациональным, но если мы заменим 5 любым бо́льшим числом в вышеприведённом выражении, мы получим только конечное количество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.

Гурвиц, однако, показал, что если мы исключим φ и производные от него числа, мы можем увеличить число 5. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 22. Снова, это новое число является наилучшим возможным при новых условиях и на этот раз становится проблемным число 2. Если мы запрещаем 2, мы можем увеличить число в правой части неравенства с 22 до 221/5. Повторяя этот процесс, получим бесконечную последовательность 5, 22, 221/5, ..., сходящуюся к 3[1]. Эти числа называются числами Лагранжа[2] по имени французского математика Жозефа Луи Лагранжа.

Связь с числами Маркова

править

Число Лагранжа с номером n, Ln, задаётся формулой

 ,

где mnn-ое число Маркова[3], являющееся наименьшим n-м целым m, таким, что уравнение

 

имеет решение для целых положительных чисел x и y.

Примечания

править
  1. Cassels, 1957, с. 14.
  2. Conway, Guy, 1996, с. 187-189.
  3. Cassels, 1957, с. 41.

Литература

править
  • Cassels J.W.S. An introduction to Diophantine approximation. — Cambridge University Press, 1957. — Т. 45. — (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics).
  • Conway J.H., Guy R.K. The Book of Numbers. — New York: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-97993-X.

Ссылки

править