Числа эпсилон — ординалы, введенные немецким математиком Гергом Кантором и являющиеся неподвижными точками функции
то есть удовлетворяющие равенству
где
— первый трансфинитный ординал. Числа эпсилон могут быть определены следующим образом (как супремумы трансфинитных последовательностей):
![{\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},...\};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c501a44864d1529a59b09a0441ad8cf2b0620406)
![{\displaystyle \varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}}},...\};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e980e347fcf1e77cdfd41bb1faefbacd1c1dab60)
для предельного ординала ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Наименьший ординал, который является неподвижной точкой функции
называется ординалом Кантора и обозначается как
![{\displaystyle \zeta _{0}=\sup\{0,\varepsilon _{0},\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}},\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}},...\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caea88ebc8e938ae148d2147b2368258b4658e8)
Впоследствии, в 1908 году, Освальд Веблен разработал более мощную ординальную нотацию — иерархию функций
. В соответствии с нотацией Веблена
.
- J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
- Section XIV.20 of Sierpiński, Wacław (1965), Cardinal and ordinal numbers (Second revised ed.), PWN — Polish Scientific Publishers