Эластичность замещения

Эластичность замещения — применяемый в экономической теории показатель, характеризующий производственную функцию или функцию полезности, и показывающий на сколько процентов необходимо изменить отношение факторов производства (или соответственно, объемов различных благ) при изменении их предельной нормы замещения на 1 % (отношение предельных продуктов или предельных полезностей соответственно), чтобы объём выпуска оставался неизменным.

Формальное определение

Пусть задана функция $Y(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ . Это обычно либо производственная функция от факторов $x_{i}$ , либо функция полезности от объемов потребления благ $x_{i}$ . Далее изложение приводится для случая производственной функции.

Обозначим $MRTS_{ij}$ — предельную норму замещения $j$ -го фактора $i$ -м фактором, а $k_{ij}$ — отношение количества этих факторов, используемых в производстве. Тогда эластичность замещения будет равна:

$\sigma _{ij}={\frac {d\ln k_{ij}}{d\ln MRTS_{ij}}}|_{Y=const}={\frac {dk_{ij}/k_{ij}}{dMRTS_{ij}/MRTS_{ij}}}|_{Y=const}={\frac {dk_{ij}}{dMRTS_{ij}}}{\frac {MRTS_{ij}}{k_{ij}}}|_{Y=const}$

При этом можно показать, что $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$ .

Можно показать, что эластичность замещения равна:

$\sigma ={\frac {(1+k_{ij}MRTS_{ij})Y'_{j}/x_{i}}{Y''_{jj}MRTS_{ij}+Y''_{ii}/MRTS_{ij}-2Y''_{ij}}}$

В случае однородных производственных функций она существенно упрощается:

$\sigma ={\frac {Y'_{i}Y'_{j}}{(1-q)Y'_{i}Y'_{j}+qYY''_{ij}}}$

где $q$ — степень однородности.

В частности для стандартного случая однородности первой степени (линейной однородности) формула имеет следующий простой вид:

$\sigma ={\frac {Y'_{i}Y'_{j}}{Y\cdot Y''_{ij}}}$

Эластичность замещения для некоторых производственных функций

Функция Кобба — Дугласа $Y=AK^{\alpha }L^{\beta }$ — эластичность замещения равна $1$ (для доказательства достаточно учесть, что эта функция является однородной степени $q=\alpha +\beta$ и воспользоваться соответствующей формулой).
Функция CES — имеет произвольную (то есть не обязательно единичную, как в случае функции Кобба — Дугласа) постоянную эластичность замещения.
Производственная функция Леонтьева — нулевая эластичность замещения.
Линейная производственная функция — бесконечная эластичность замещения.

См. также

Литература