Эпициклоида

Эпицикло́ида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения. По свидетельству Лейбница, Оле Рёмер ранее 1676 года сделал важное в практическом отношении открытие, что эпициклоидические зубцы в зубчатом колесе производят наименьшее трение.

EpitrochoidOn3-generation.gif

УравненияПравить

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен  , радиус катящейся по ней окружности равен  , то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно  :

 

где   — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x),   — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси  .

Можно ввести величину  , тогда уравнения предстанут в виде

 

Величина   определяет форму эпициклоиды. При   эпициклоида образует кардиоиду, а при   — нефроиду. Если  несократимая дробь вида   ( ), то   — это количество каспов данной эпициклоиды, а   — количество полных вращений катящейся окружности. Если   иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.


ПолучениеПравить

 
sketch for proof
Пусть   - искомая точка,   - угол отклонения точки   от точки касания двух окружностей,   - угол отклонения между центрами данных окружностей.
Так как окружность катится без скольжения, то  
По определению длины дуги окружности:
 
Из данных двух утверждений выплывает, что
 
Получаем соотношения для  :
 
Пусть центр неподвижной окружности  , центр второй окружности  . Очевидно, что  
Перепишем в координатах:
 

Следовательно позиция точки  :

 
 

См. такжеПравить