Квантовая яма с бесконечными стенками

(перенаправлено с «Яма с бесконечными стенками»)

Ква́нтовая я́ма с бесконе́чными сте́нками (Бесконечная прямоугольная потенциальная яма) — область пространства размером порядка длины волны де Бройля рассматриваемой частицы (хотя бы в одном направлении), вне которой потенциальная энергия бесконечна. Иногда данную область называют «ящиком» (англ. particle in a box).

Для демонстрации основных черт поведения частицы в яме удобны такие профили потенциальной энергии, при которых движение происходит независимо по трём декартовым координатам и переменные в уравнении Шрёдингера разделяются. Часто анализируется прямоугольная область по всем измерениям (прямоугольный «ящик»), а потенциальная энергия в нём полагается нулевой.

Могут быть рассмотрены системы с ограничением движения частицы по одной координате (собственно яма), по двум (квантовый провод) или по трём (квантовая точка). При ограничении по одной координате «ящик» представляет собой плоскопараллельный слой, а обращение в бесконечность математически отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции равны нулю на концах соответствующего отрезка. При ограничении по нескольким координатам на границах ставятся граничные условия Дирихле.

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками

править

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

 

Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале  

 

С учётом обозначения  , оно примет вид:

 

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

 

Граничные значения имеют вид:

 

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

 

которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:

 

что после тригонометрических преобразований принимает вид:

 

Корни этого уравнения имеют вид

 

Подставляя в систему, имеем:

 
 

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

 
 

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

 

получим явный вид нормировочных множителей:

 

В результате получим собственные функции гамильтониана:

 
 

с соответствующим энергетическим спектром:

 
 

Литература

править
  • Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
  • Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.