LC-осциллятор

LC-осциллятор — электрическая цепь, состоящая в простейшем случае из параллельно соединенных емкости, индуктивности и нелинейного сопротивления, вольт-амперная характеристика которого имеет отрицательную дифференциальную проводимость в области малых напряжений. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид



Если ВАХ нелинейного сопротивления аппроксимировать сокращенным полиномом третьего порядка , то при отрицательном коэффициенте , положительном и численном равенстве уравнение (1) совпадает с уравнением Ван дер Поля. В общем случае уравнение (1) не имеет аналитического решения. Существует возможность получения стационарного решения в квадратурах для частных случаев. Одним из них является аппроксимация ВАХ прямой, проходящей через начало координат, с изломом в точке таким образом, чтобы дифференциальная проводимость описывалась выражением[1]



где , и  — положительные константы. При система неустойчива, при и малых в системе возникают стационарные колебания, близкие по форме к гармоническим. На отдельных интервалах периода колебания стационарное решение однородного уравнения (1) при имеет вид:



где , , , .
Период колебания , момент времени , служащий границей интервалов, на которых рассматривается (1) и постоянные интегрирования , определяются из решения системы уравнений[2]

; ; ; ; ; .

Коэффициенты решения (1), полученные численно с ошибкой в последнем разряде при Гн, Ф, См, B и :

,B; ,B; ,B; ,B; ,с; , с.

Рис.1. Колебание, близкое к гармоническому


В случае генерируемые колебания становятся релаксационными, решение ищется в виде суммы двух экспоненциальных функций, но константы решения определяются по-прежнему из условия непрерывности и в точках сшивания , и .


Дифференциальная проводимость может быть задана и иным образом[3].

ПримечанияПравить

  1. Andronov, A.A., Chaikin, C.E., Theory of Oscillations, Princeton University Press, Princeton, NJ, (1949).
  2. Бирюков В. Н., Гатько Л. Е. «Точное стационарное решение уравнения автогенератора», Нелинейный мир, 10 (9),. 613—616, (2012).
  3. Pilipenko A. M., and Biryukov V. N. «Investigation of Modern Numerical Analysis Methods of Self-Oscillatory Circuits Efficiency», Journal of Radio Electronics, No 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html Архивная копия от 3 февраля 2017 на Wayback Machine