U-критерий Манна — Уитни

U-критерий Манна — Уитни (англ. Mann–Whitney U test) — статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна — Уитни — Уилкоксона (англ. Mann–Whitney–Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона — Манна — Уитни (англ. Wilcoxon–Mann–Whitney test). Реже: критерий числа инверсий[1].

ИсторияПравить

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году американским химиком и статистиком Фрэнком Уилкоксоном. В 1947 году он был существенно переработан и расширен Г. Б. Манном и Д. Р. Уитниrufr, по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерияПравить

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерияПравить

  1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
  2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа — разные) или таких совпадений должно быть очень мало (до 10).[источник не указан 172 дня]

Использование критерияПравить

Для применения U-критерия Манна — Уитни нужно произвести следующие операции.

  1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг (при наличии повторяющихся элементов в выборке использовать средний ранг). Общее количество рангов получится равным   где   — количество элементов в первой выборке, а   — количество элементов во второй выборке.
  2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящих соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки  , и отдельно — на долю элементов второй выборки  , затем вычислить:

     ,
     ,
    если всё вычислено верно, то
     ,

  3. Определить значение U-статистики Манна-Уитни по формуле  
  4. По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных   и  . Если полученное значение   меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение   больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение  .
  5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание   и дисперсию   и при достаточно большом объёме выборочных данных   распределён практически нормально.

Таблица критических значенийПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947. — № 18. — P. 50—60.
  • Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. — 1945. — P. 80—83.
  • Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. — Л., 1973.
  • Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. — СПб., 2002.