Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Интуитивная анимация, показывающая, как функции Грина, решающие дифференциальное уравнение с точечным источником, могут быть наложены друг на друга для решения его с произвольным источником.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Определение и использование

править

Функция Грина   линейного дифференциального оператора  , действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства   в точке  , — это любое решение уравнения

 ,

где   — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

 ,

Функция Грина — это обратный оператор к  , поэтому её нередко символически обозначают как  .

Если ядро оператора   нетривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

 ,

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если   имеет постоянные коэффициенты по отношению к  , то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

 .

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.

Замечание

править

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид  , функция Грина   также определяется с учётом этого коэффициента, то есть в этом случае она по определению является решением уравнения[1]

 .

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения   с произвольной функцией   в правой части записывается как

 .
  1. Ясно, что описанное в этом разделе отличие в определении функции Грина от данного в статье выше касается не сути дела, а всего лишь предпочитаемой формы записи

Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)

править

Постановка задачи

править

Пусть   — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида:

 ,

и пусть   — оператор краевых условий:

 

Теорема Грина

править

Пусть   — непрерывная функция на промежутке  . Предположим также, что задача

 

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Тогда существует единственное решение  , удовлетворяющее системе

 ,

которое задаётся выражением

 ,

где   — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

  1.   непрерывна по   и  .
  2. Для  ,  .
  3. Для  ,  .
  4. Скачок производной:  .
  5. Симметрична:  .

Нахождение функции Грина

править

В виде ряда через собственные функции оператора

править

Если множество собственных векторов (собственных функций)   дифференциального оператора  

(то есть набор таких функций  , что для каждой найдётся число  , что  )

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов   и собственных значений  .

Под полнотой системы функций   подразумевается выполнение соотношения

 .

Можно показать, что

 .

Действительно, подействовав оператором   на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху,  , обозначено комплексное сопряжение; если   — вещественные функции, его можно не делать).

Для параболических уравнений

править

Уравнение теплопроводности, уравнение Шрёдингера и уравнения диффузии можно представить в виде уравнения в частных производных:

 

 

 

 

 

(1)

где   — эрмитов оператор,   - пространственные координаты

  • для уравнения теплопроводности  

  — температура,  .

  • для уравнения Шрёдингера  

  — волновая функция,  .

  • для уравнения диффузии  

  — концентрация вещества,  .

Собственные функции   оператора   образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнению

 .

Предположим, что решение уравнения (1) можно представить в виде:

 

 

 

 

 

(2)

Подставляя в уравнение (1) предполагаемую форму решения, получаем:

 .

Таким образом:

 .

Это уравнение должно выполняться для всех m. Получаем уравнение:

 ,

откуда

 .

Следовательно, решение исходного уравнения (1) можно представить в виде:

 .

Считая ряд (2) равномерно сходящимся, можно найти, что:

 ,

где   — элемент объёма.

Из этой формулы следует:

 

Итак, если задано начальное состояние, то

 

Это уравнение можно представить в более удобной форме:

 ,

где:

 .

Это выражение называется функцией Грина для уравнения (1).

Функция Грина для лапласиана

править

Функция Грина для лапласиана может быть получена из теоремы Грина.

Для получения теоремы Грина начнём с закона Гаусса:

 .

Примем   и подставим в закон Гаусса. Вычислим   и применим цепное правило для оператора  :

 
 .

Подставляя результат в теорему Гаусса, мы получаем теорему Грина:

 .

Предполагая, что наш линейный дифференциальный оператор   Лапласиан,  , и то, что у нас имеется для него функция Грина  . Определение функции Грина в этом случае запишется в виде:

 .

Положим   в теореме Грина. Тогда получим:

 
 .

Используя выражение, мы можем решить уравнение Лапласа ( ) и уравнение Пуассона ( ) с граничными условиями Неймана или Дирихле. Другими словами, мы можем найти решение   всюду внутри заданной области, если (1) значение   задано на границе этой области (граничные условия Дирихле), или (2) нормальная производная   задана на границе этой области (граничные условия Неймана).

Пусть нас интересует решение   внутри области. В этом случае интеграл   упрощается до   в силу основного свойства дельта-функции, и мы имеем:

 .

Эта формула выражает известное свойство гармонических функций, состоящее в том, что если известно значение нормальной производной на границе области, то известны и все значения функции в любой внутренней точке этой области.

В электростатике   понимается как электростатический потенциал,   как плотность электрического заряда, а нормальная производная   как нормальная составляющая электрического поля.

При решении краевой задачи Дирихле функция Грина выбирается в виде  . Эта функция обращается в нуль, когда   или   находится на границе раздела; и наоборот, решая краевую задачу Неймана, следует выбирать функцию Грина так, чтобы на поверхности обращалась в нуль её нормальная производная. Таким образом в интеграле по поверхности остаётся только одно из двух слагаемых.

При отсутствии граничных условий функция Грина для лапласиана имеет вид:

 .

Считая граничную поверхность бесконечно большой и подставляя в это выражение функцию Грина, мы придём к аналогичному выражению для электрического потенциала через электрическую плотность заряда.

 .

Пример

править

(Этот пример служит иллюстрацией к параграфу Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай), причём описанные здесь соображения иллюстрируют пункты теоремы из соответствующего параграфа, ссылки на пункты которой присутствуют в тексте ниже).

Дана задача

 ;
 .

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Функция Грина   в данном случае по определению должна быть решением уравнения

 

 

 

 

 

(3)

где двумя штрихами обозначена вторая производная по  .

Для  , где  -функция равна нулю, это уравнение сводится к однородному (пункт 2 упомянутой теоремы):

 ,

то есть для всех точек, кроме  , функция Грина будет решением такого однородного уравнения.

Общее решение такого уравнения

 ,

где   и   — константы (не зависят от  ).

Таким образом,   должно иметь именно такой вид всюду, кроме точки  , причём слева и справа от неё коэффициенты   и   могут (и будут) иметь разное значение.

Наложим на функцию Грина граничные условия, совпадающие с граничными условиями исходной задачи (пункт 3 упомянутой во вводном замечании теоремы). Функция Грина с наложенными так граничными условиями удобна тем, что конструируемые суммированием или интегрированием таких функций Грина решения автоматически будут удовлетворять этим граничным условиям.

Из левого граничного условия:   — налагаемого на функцию Грина мы видим, что для   коэффициент   общего решения должен быть нулём, то есть для  

 .

Точно так же из правого граничного условия:   — получаем равенство нулю коэффициента  , то есть для  

 .

В итоге, учитывая, что коэффициенты   и   вообще говоря могут зависеть от  , можем записать:

 

Второй шаг:

Нужно определить   и  .

Проинтегрировав дважды левую и правую часть уравнения (3) с дельта-функцией в правой части, мы увидим, что функция Грина должна быть непрерывна (пункт 1 упомянутой теоремы), а отсюда условие сшивки решения   и  :

 .

Проинтегрировав же левую и правую часть того же уравнения от   до   получим условие на скачок первой производной (пункт 4 теоремы), и используя его, получим:

 .

Используя правило Крамера или просто угадывая решение системы из двух этих уравнений, получим, что

 .

Эти выражения удовлетворяют условию пункта 5 теоремы.

Тогда функция Грина задачи:

 ,

что можно записать как

 

Таблица с функциями Грина

править

В данной таблице представлены функции Грина для часто встречающихся дифференциальных операторов, где  ,  ,   — функция Хевисайда,   — функция Бесселя,  модифицированная функция Бесселя первого рода и   — модифицированная функция Бесселя второго рода.[2] Где время (t) появляется в первой колонке и показаны причинные функции Грина  .

Дифференциальный оператор L Функция Грина G Пример применения
   
   
   
   ,   Гармонический осциллятор
   ,   Уравнение Пуассона
   ,   Уравнение Пуассона
       стационарное 3D уравнение Шрёдингера для свободной частицы
  в пространстве с   измерениями   Потенциал Юкавы, Пропагатор
    1D волновое уравнение
    2D волновое уравнение
    3D волновое уравнение
    1D уравнение диффузии
    2D уравнение диффузии
    3D уравнение диффузии
    1D уравнение Клейна — Гордона
    2D уравнение Клейна — Гордона
    3D уравнение Клейна — Гордона
    телеграфное уравнение
    2D релятивистское уравнение теплопроводности
    3D релятивистское уравнение теплопроводности

Другие примеры

править
  • Пусть дано множество   и оператор   равен  . Тогда функция Хевисайда   является функцией Грина для   при  .
  • Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости   и   — оператор Лапласа. Также предположим, что при   наложены краевые условия Дирихле, при   — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид
 
 

См. также

править

Примечания

править
  1. Ли Цзун-дао Математические методы в физике. - М.: Мир, 1965. - c. 200
  2. Некоторые примеры взяты из книги Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (German)

Литература

править
  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-я глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9