Дициклическая группа

В теории групп дициклическая группа Dic_n— это некоммутативная группа порядка 4n (где n>=2), являющаяся расширением циклической группы порядка 2n. Эта группа также называется обобщённой группой кватернионов и обозначается Q_4n.

Имеет место точная последовательность:

$1\to C_{2n}\to {\mbox{Dic}}_{n}\to C_{2}\to 1.\,$

которая означает, что Dic_n содержит нормальную подгруппу H, изоморфную C_2n. Факторгруппа Dic_n/H изоморфна C₂.

Определение

Дициклическая группа может быть задана как группа, порождённая элементами a и b соотношениями

• a²ⁿ=1,
• b² = aⁿ,
• b^-1 a b = a^-1.

Из этих соотношений следует, что каждый элемент Dic_n может быть единственным образом записан, как a^kb^j, где 0 ≤ k < 2n, j = 0 или 1. Поэтому порядок группы равен 4n.

Свойства

Центр дициклической группы Z(Dic_n) состоит из двух элементов аⁿ и 1. Её коммутантом является подгруппа, порождённая элементом a² и изоморфная C_n.

Дициклическая группа и группа диэдра

Существует сходство между дициклической группой и группой диэдра Dih_2n . В этих группах имеется циклическая подгруппа A = <a>=C_2n и внутренний автоморфизм, который действует на C_2n как "отражение": int_b(a) = a^-1.

Замена соотношения b² = 1 (для группы диэдра) на b² = aⁿ приводит к ряду отличий. Все элементы, не принадлежащие подгруппе <a>, имеют порядок 2 в группе диэдра и порядок 4 в дициклической группе. В отличие от группы диэдра дициклическая группа Dic_n не является полупрямым произведением А и <b>, так как пересечение A ∩ <b> не является тривиальным.

Дициклическая группа имеет ровно один элемент порядка 2, а именно x = b² = аⁿ. Этот элемент принадлежит центру группы Dic_n. Если мы добавим соотношение b² = 1, то получим группу диэдра Dih_n. Таким образом факторгруппа Dic_n/<b²> изоморфна группе диэдра Dih_n, содержащей 2n элементов.

Наименование группы

В математической энциклопедии, группа кватернионов — это частный случай, когда порядок группы равен степени 2. В этом случае группа является нильпотентной.

Случай 2-группы

В обобщённой кватернионной группе любая абелева подгруппа является циклической. Можно показать, что конечная p-группа c этим свойством (любая абелева подгруппа является циклической) является либо циклической, либо обобщённой кватернионной группой. Если же конечная p-группа имеет единственную подгруппу порядка p, то она либо циклическая, либо является обобщённой кватернионной группой (с порядком, равным степени двойки). В частности, для конечного поля F нечётной характеристики 2-силовская подгруппа SL₂(F) не абелева и имеет только одну подгруппу порядка 2, так что эта 2-силовская подгруппа должна быть обобщенной группой кватернионов. Если p^r — порядок F, где p простое, то порядок 2-силовской подгруппы SL₂(F) равен 2ⁿ, где n = ord₂(p² - 1) + ord₂(r).

См. также

• Группа кватернионов#Обобщённая группа кватернионов

Литература

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, Изд-во «Наука», 1972.
• Kenneth S. Brown. Cohomology of groups. — Springer-Verlag, 1982. — ISBN 978-0-387-90688-1.
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homological Algebra. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 978-0-691-04991-5.
• D. Gorenstein. Finite Groups. — New York: Chelsea, 1980. — ISBN 978-0-8284-0301-6.