Минимальная связь

В аналитической механике и квантовой теории поля минимальная связь относится к взаимодействию между полями, которая включает в себя только распределение заряда, а не высшие мультипольные моменты распределения заряда. Эта минимальная связь отличается, например, от взаимодействия Паули, которая включает магнитный момент электрона непосредственно в лагранжиан.

Электродинамика

В электродинамике минимальной связи достаточно для учёта всех электромагнитных взаимодействий. Более высокие моменты частиц являются следствием минимальной связи и ненулевого спина.

Нерелятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

В декартовых координатах лагранжиан нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле имеет вид (в единицах СИ):

${\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi$

где q — электрический заряд частицы, φ — электрический скалярный потенциал, а A_i — компоненты магнитного векторного потенциала, которые могут явно зависеть от $x_{i}$ и $t$.

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера-Лагранжа приводит к выраению для силы Лоренца

$m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,$

и называется минимальной связью.

Значения скалярного и векторного потенциалов будут меняться при калибровочных преобразованиях, и сам лагранжиан также будет включать дополнительные члены. Дополнительные члены в лагранжиане сворачиваются в полную производную по времени от скалярной функции и, следовательно, по-прежнему дают то же уравнение Эйлера — Лагранжа.

Канонические импульсы имеют вид

$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}$

Здесь канонические импульсы не являются калибровочно-инвариантными и не поддаются физическому измерению. Однако импульсы

$P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}$

являются калибровочно-инвариантными и физически измеримыми величинами.

Таким образом, гамильтониан после преобразований Лежандра лагранжиана имеет вид

${\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi$

принимая вид уравнение часто используемый в квантовой механике.

При калибровочном преобразовании

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,$

где f (r, t) — любая скалярная функция координат и времени, вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и преобразование Гамильтона, например

$L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,$

которое по-прежнему приводит к тому же уравнению Гамильтона

${\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}$

В квантовой механике волновая функция также претерпевает локальное групповое преобразование U(1) во время калибровочного преобразования, из чего следует, что все физические результаты должны быть инвариантны относительно локальных преобразований группы U(1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

Релятивистский лагранжиан для частицы с массой покоя m и электрическим зарядом q определяется выражением:

${\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)$

Таким образом, канонический импульс частицы равен

$\mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A}$

то есть сумма кинетического импульса и потенциального импульса.

Выражая скорость, получается

${\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}$

приводя гамильтониан к виду

${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi$

В результате получается уравнение для силы (эквивалентное уравнению Эйлера — Лагранжа)

${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi$

из чего можно вывести, используется тождество векторного исчисления

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функции релятивистского (кинетического) импульса P = γmẋ(t) = p - qA, равно

${\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V$

Зжесь кинетический импульс P можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс p — нет. Полную энергию можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетической + энергию покоя) E = γmc² плюс потенциальную энергию V = eφ.

Инфляция

В исследованиях космологической инфляции минимальная связь скалярного поля обычно относится к минимальному взаимодействию с гравитацией. Это означает, что действие для поля инфлатона $\varphi$ не связана со скалярной кривизной. Его единственная связь с гравитацией — это связь с инвариантной мерой Лоренца ${\sqrt {g}}\,d^{4}x$ построенный в метрике (в планковских единицах):

$S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)$

где $g:=\det g_{\mu \nu }$ и используется калибровочная ковариантная производная.