Ортогональное дополнение

Ортогональное дополнение подпространства $W$ векторного пространства $V$ с билинейной формой $B$ — это множество всех векторов $V$, ортогональных каждому вектору из $W$. Это множество является векторным подпространством $V$, которое обычно обозначается $W^{\bot }$.

Определение

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ с билинейной формой $B$. Вектор $u$ ортогонален слева вектору $v$, а вектор $v$ ортогонален справа вектору $u$ тогда и только тогда, когда $B(u,v)=0.$ Левое ортогональное дополнение подпространства $W^{\bot }$ — это множество векторов, ортогональных слева каждому вектору $W$, то есть

$W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0\;\forall y\in W\right\}.$

Аналогичным образом определяется правое ортогональное дополнение. Для симметричной или кососимметричной билинейной формы $B(u,v)=0\Leftrightarrow B(v,u)=0,$ поэтому определения левого и правого ортогонального дополнения совпадают.

Определение можно перенести на случай свободного модуля над коммутативным кольцом.

Свойства

• Ортогональное дополнение является подпространством, то есть замкнуто относительно сложения векторов и умножения на элемент поля.
• Если $X\subseteq Y$, то $Y^{\bot }\subseteq X^{\bot }.$
• Радикал билинейной формы является подпространством любого ортогонального дополнения.
• $W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }.$
• Если форма $B$ является невырожденной, а пространство $V$ конечномерно, то $\mathrm {dim} \;W+\mathrm {dim} \;W^{\bot }=\mathrm {dim} \;V.$
• Если же $V$ — конечномерное евклидово пространство и $B$ — скалярное произведение (или же унитарное пространство и эрмитово скалярное произведение соответственно), то для любого подпространства $W\subseteq V$ $V$ разлагается в прямую сумму $W$ и $W^{\bot }.$

Пример

Пусть $V$ — двумерное пространство с базисом $e_{1},e_{2}$, и матрица билинейной формы в этом базисе имеет вид ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.$ Тогда ортогональное дополнение подпространства, натянутого на вектор $ae_{1}+be_{2}$ — это множество таких векторов $xe_{1}+ye_{2},$ что $ay+bx=0.$ Например, ортогональное дополнение пространства, натянутого на вектор $e_{1}$, совпадает с ним самим, тогда как ортогональное дополнение $\langle e_{1}+e_{2}\rangle$ натянуто на вектор $e_{1}-e_{2}$.

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.
• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
• Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002