Первая и вторая теоремы Хелли
править
Доказательство первой теоремы Хелли
править
Доказательство второй теоремы Хелли
править
Пусть
a
<
b
{\displaystyle a<b}
— точки непрерывности
F
(
x
)
{\displaystyle F\left(x\right)}
.Докажем сначала, что
lim
n
→
∞
∫
a
b
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
=
∫
a
b
g
(
x
)
d
F
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)}
.
Пусть
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
. Разделим
[
a
,
b
]
{\displaystyle \left[a,b\right]}
точками непрерывности
a
=
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
N
−
1
,
x
N
=
b
{\displaystyle a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b}
функции
F
(
x
)
{\displaystyle F\left(x\right)}
на такие отрезки
[
x
k
−
1
,
x
k
]
{\displaystyle \left[x_{k-1},x_{k}\right]}
, что
|
g
(
x
)
−
g
(
x
k
)
|
<
ε
{\displaystyle \left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon }
для точек
x
∈
[
x
k
−
1
,
x
k
]
{\displaystyle x\in \left[x_{k-1},x_{k}\right]}
.
Это сделать можно, так как
g
(
x
)
{\displaystyle g\left(x\right)}
равномерно непрерывна на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \left[a,b\right]}
, а точки непрерывности
F
(
x
)
{\displaystyle F\left(x\right)}
расположены всюду плотно.
Определим ступенчатую функцию .
g
ε
(
x
)
=
g
(
x
k
)
{\displaystyle g_{\varepsilon }\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)}
на
x
∈
(
x
k
−
1
,
x
k
]
{\displaystyle x\in \left(x_{k-1},x_{k}\right]}
.
Тогда
|
∫
a
b
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
−
∫
a
b
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
≤
∫
a
b
|
g
(
x
)
−
g
ε
(
x
)
|
d
F
n
(
x
)
+
|
∫
a
b
g
ε
d
F
n
−
∫
a
b
g
ε
d
F
|
+
∫
a
b
|
g
(
x
)
−
g
ε
(
x
)
|
d
F
(
x
)
≤
{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF_{n}-\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF\left(x\right)\leq }
≤
2
ε
+
M
[
∑
k
=
1
N
[
F
n
(
x
k
)
−
F
(
x
k
)
−
(
F
n
(
x
k
−
1
)
−
F
(
x
k
−
1
)
)
]
]
.
{\displaystyle \leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right]\right].}
где
M
=
s
u
p
x
|
g
(
x
)
|
.
{\displaystyle {\mathsf {M}}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.}
.
При
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует
lim
n
→
∞
∫
a
b
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
=
∫
a
b
g
(
x
)
d
F
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).}
Для доказательства
lim
n
→
∞
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
d
F
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)}
выберем
X
>
0
{\displaystyle X>0}
таким, чтобы
F
(
−
X
)
<
ε
4
{\displaystyle F\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}}
и
1
−
F
(
X
)
<
ε
4
{\displaystyle 1-F\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}}
и чтобы точки
±
X
{\displaystyle \pm X}
были точками непрерывности
F
(
x
)
.
{\displaystyle F\left(x\right).}
Тогда, так как
F
n
(
±
X
)
→
F
(
±
X
)
{\displaystyle F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)}
можно выбрать
n
0
{\displaystyle n_{0}}
таким, что при
n
≥
n
0
,
F
n
(
−
X
)
<
ε
2
{\displaystyle n\geq n_{0},F_{n}\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}}
и
1
−
F
n
(
X
)
<
ε
2
.
{\displaystyle 1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.}
Оценим разность
|
lim
n
→
∞
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
−
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
≤
|
lim
n
→
∞
∫
−
X
X
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
−
∫
−
X
X
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
+
|
∫
|
x
|
>
X
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
|
+
|
∫
|
x
|
>
X
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
≤
{\displaystyle \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq }
≤
|
lim
n
→
∞
∫
−
X
X
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
−
∫
−
X
X
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
+
M
ε
+
M
ε
2
.
{\displaystyle \leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.}
На основании
lim
n
→
∞
∫
a
b
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
=
∫
a
b
g
(
x
)
d
F
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)}
заключаем, что правая часть
|
lim
n
→
∞
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
−
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
≤
|
lim
n
→
∞
∫
−
X
X
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
−
∫
−
X
X
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
+
|
∫
|
x
|
>
X
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
|
+
|
∫
|
x
|
>
X
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
≤
{\displaystyle \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq }
≤
|
lim
n
→
∞
∫
−
X
X
g
(
x
)
d
F
n
(
x
)
−
∫
−
X
X
g
(
x
)
d
F
(
x
)
|
+
M
ε
+
M
ε
2
.
{\displaystyle \leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.}
может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.
Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 254 с.