Прямая и обратная предельная теорема

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Прямая и обратная предельная теорема

Прямая предельная теорема

Если последовательность функций распределения $F_{n}$ слабо сходится к функции распределения $F$ при $n\rightarrow \infty$, то последовательность соответствующих характеристических функций $\left\{f_{n}\right\}$ сходится поточечно к характеристической функции $f$.

Иными словами

Если $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)$, то $f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)$ в каждой точке $t$.

Обратная предельная теорема

Пусть последовательность характеристических функций $\left\{f_{n}\right\}$ сходится поточечно к функции $f$, непрерывной в точке 0. Тогда последовательность соответствующих функций распределения $F_{n}$ слабо сходится к функции $F$ и $f$ является характеристической функцией, соответствующей функции распределения $F$.

Доказательство прямой предельной теоремы

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из второй теоремы Хелли и определения характеристической функции:

В качестве функции $g$ возьмем $g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$, а на $i$ и $t$ смотрим как на параметры.

Замечание

Поточечную сходимость последовательности характеристических функций в этой теореме можно заменить равномерной сходимостью на любом компакте из $R$.

Доказательство обратной предельной теоремы

Пусть $F_{n}$ — последовательность функций распределения соответствующих последовательности характеристических функций $f_{n}$. Из первой теоремы Хелли следует, что существует слабо сходящаяся подпоследовательность

$\left\{F_{n_{k}}\right\}\subset \left\{{F_{n}}\right\},$ такая что $F_{n_{k}}\Rightarrow F$

Докажем, что $F$ является функцией распределения. Для этого достаточно показать, что $F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$

Для доказательства понадобится следующее неравенство: пусть $\xi$ произвольная случайная величина, $f$ — её характеристическая функция, тогда для любых $\tau >0$ и $x>0$

$P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$

Положим $\tau x=2$, тогда неравенство примет вид

$P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1$

Докажем неравенство $P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$. Из определения характеристической функции и теоремы Фубини следует

$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=$

$=\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq {\mathsf {M}}\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\right)$

Так как функция $f$ непрерывна в точке $0$ и является поточечным пределом характеристических функций $\left\{f_{n}\right\}$, то $f\left(0\right)=1$ и для любого $\varepsilon >0$ существует такое $\tau _{0}>0$, что для всех $\tau$ удовлетворяющих неравенству $0<\tau \leq \tau _{0},$ выполнено

$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{4}}$

Из того, что $f_{n}\rightarrow f$ при $n\rightarrow \infty$ вытекает для всех $n>n_{0}$ и для $\tau \in (0;\tau _{0}],$

$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$

Из неравенств $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{4}}$ и $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ следует, что для любых $n>n_{0}$ и $\tau$, таких что $0<\tau \leq \tau _{0}$

$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{2}}$

Из неравенств $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{2}}$ и $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ имеем

$F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }}-0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k}}\right|\leq {\frac {\tau }{2}}\right)\geq 2\left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)-1=1-\varepsilon$,

для всех $n>n_{0}$ и $0<\tau \leq \tau _{0}$. Из последнего неравенства в силу произвольности $\tau$ и $\varepsilon$ получаем

$F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$

то есть $F$ — функция распределения. По прямой предельной теореме из доказанного следует

$f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right),t\in \mathbb {R}$

Но по условию теоремы

$f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right),t\in \mathbb {R}$

Следовательно

$f\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right)$ — характеристическая функция, соответствующая функции распределения $F$

Докажем теперь, что

$F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F$

Предположим противное, пусть

$F_{n}\nRightarrow F$ при $n\rightarrow \infty$. Тогда существует $\left\{F_{m_{k}}\right\}\subset \left\{F_{n}\right\},F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^{*}\neq F$, причем $F$ и $F^{*}$ — функции распределения

По прямой предельной теореме имеем

$f_{n_{k}}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right),f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\left(t\right),k\rightarrow \infty$

и по теореме единственности $f\left(t\right)\neq f^{*}\left(t\right)$, но этого не может быть, так как

$f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)$,

Следовательно

$f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)$

Теорема доказана.

Литература

• Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс теории вероятностей. — 2003. — 322 с.
• Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 244 с.

См. также

• Первая и вторая теоремы Хелли
• Теорема Леви о непрерывности