Теорема Карунена — Лоэва

Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объёме дискретного описания сигналов, то есть о количестве $N$ базисных функций, используемых для представления:

$a(t)=\sum _{k=0}^{N-1}\alpha _{k}\varphi _{k}(t)$.

Чтобы найти оптимальный базис, нужно определить класс сигналов, для которого он отыскивается, а также задать точность восстановления для этого класса. При статистическом подходе к описанию сигналов оптимальным $N$ — мерным базисом для представления отдельных реализаций сигналов обычно считается базис, при котором норма ошибки, усредненная по ансамблю реализаций, минимальна. В этом случае необходимые и достаточные условия минимума нормы ошибки представления сигнала в виде суммы базисных функций определяет теорема Карунена-Лоэва.

Популярная формулировка

Минимальное значение нормы ошибки представления сигналов на интервале протяженностью $T$ достигается при использовании в качестве базиса собственных функций оператора, ядром которого является корреляционная функция сигналов $R_{a}(t,\tau )$:

$\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}R_{a}(t,\tau )\varphi _{k}(\tau )d\tau =\lambda _{k}\varphi _{k}(t)$,

соответствующих $N$ наибольшим собственным значениям. При этом норма ошибки равна:

$\|\epsilon \|_{min}^{2}=\|a(t)-\sum _{k=0}^{N-1}\alpha _{k}\varphi _{k}(t)\|_{min}^{2}=\sum _{k=N}^{\infty }\lambda _{k}$.

Такое разложение является разложением Карунена-Лоэва.

Применение

В теории случайных процессов теорема Карунена-Лоэва (названа в честь Кари Карунена и Мишеля Лоэва) — представление случайного процесса в виде бесконечной линейной комбинации ортогональных функций, аналогичное представлению рядов Фурье — последовательному представлению функций на ограниченном интервале. В отличие от рядов Фурье, где коэффициенты являются действительными числами и базис представления состоит из синусоидальных функций (то есть, из функций синус и косинус с разными частотами), коэффициенты в теореме Карунена-Лоэва — случайные переменные, и базис представления зависит от процесса. Ортогональные базисные функции, использованные в этом представлении, определяет функция ковариации процесса. Если мы рассматриваем стохастический процесс как случайную функцию F, то есть процесс, в котором функция на интервале [a, b] принимает значение F, то эта теорема может рассматриваться как случайное ортонормальное разложение F.

Центрированный случайный процесс {X_t}_{t ∈ [a, b]} (где центрирование означает, что математические ожидания E(X_t) существуют и равны нулю для всех значений параметра t из [a, b]), удовлетворяющий техническому условию непрерывности, допускает разложение следующего вида:

$\mathbf {X} _{t}=\sum _{k=1}^{\infty }\mathbf {Z} _{k}e_{k}(t).$

где Z_k — взаимнонекоррелированые случайные величины и функции e_k — непрерывные вещественные функции на [a, b], ортогональные в L² [a, b]. В случае нецентрированного процесса имеет место аналогичное разложение, получаемое разложением функции математического ожидания в базисе e_k.

Если процесс $\mathbf {X} _{t}$ гауссовский, то случайные величины Z_k — тоже гауссовские и являются независимыми. Этот результат обобщает преобразования Карунена-Лоэва. Важным примером центрированного случайного процесса на интервале [0,1] является винеровский процесс, и теорема Карунена-Лоэва может быть использована для получения канонического ортогонального представления. В этом случае разложение состоит из синусоидальных функций.

Приведенные выше разложения в также известны как разложения или декомпозиция Карунена-Лоэва (эмпирическая версия, то есть, с коэффициентами из исходных числовых данных), как анализ главных компонент, собственное ортогональное разложение или преобразование Хотеллинга.

Формулировка

Сформулируем результат в терминах комплекснозначных стохастических процессов. Результаты могут быть применены к вещественнозначным процессам без модификаций, вспоминая, что число, комплексно-сопряженное с действительным числом, совпадает с ним самим.

Для случайных элементов X и Y скалярное произведение определяется формулой

$\langle \mathbf {X} |\mathbf {Y} \rangle =\operatorname {E} (\mathbf {X^{*}} \mathbf {Y} )$

где * обозначает операцию комплексного сопряжения.

Статистики второго порядка

Скалярное произведение корректно определено, если как $X$, так и $Y$ имеют конечные вторые моменты, или, что то же самое, если они оба квадратично интегрируемы. Отметим, что скалярное произведение связано с ковариацией и корреляцией. В частности, для случайных переменных со средним нулевым значением, ковариация и скалярное произведение совпадают. Функция автоковариации $K_{\mathrm {XX} }$

$K_{\mathrm {XX} }(t,s)=\operatorname {Cov} [X(t),X(s)]=\langle \mathbf {X} _{t}|\mathbf {X} _{s}\rangle$

$=\mathrm {E} \{[X(t)-\mu _{X}(t)]^{*}[X(s)-\mu _{X}(s)]\}$

$=\mathrm {E} \{X^{*}(t)X(s)\}-\mu _{X}^{*}(t)\mu _{X}(s)$

$=R_{\mathrm {XX} }(t,s)-\mu _{X}^{*}(t)\mu _{X}(s).$

Если процесс {X_t}_t центрированный, то

$\mu _{X}(t)=0$

для всех t. Таким образом, автоковариация K_XX равна автокорреляции R_XX:

$K_{\mathrm {XX} }(t,s)=R_{\mathrm {XX} }(t,s).$

Отметим, что если {X_t}_t центрированный и t₁, ≤ t₂, …, ≤ t_N являются точками на интервале [a, b], следовательно

$\sum _{k,\ell }\operatorname {Cov} _{\mathbf {X} }(t_{k},t_{\ell })=\operatorname {Var} \left(\sum _{k=1}^{N}\mathbf {X} _{k}\right)\geq 0.$

Формулировка теоремы

Теорема. Рассмотрим центрированный случайный процесс $\{\mathbf {X} _{t}\}$, индексированный $t$ на интервале $[a,b]$ с ковариационной функцией $\mathrm {Cov} _{\mathbf {X} }$. Предположим, что ковариационная функция $\mathrm {Cov} _{\mathbf {X} }(t,s)$ непрерывна по совокупности переменных $t,s$. Тогда $\mathrm {Cov} _{\mathbf {X} }$ — положительно определенное ядро, и по теореме Мерсера интегральный оператор $T$ в $L^{2}[a,b]$ (близкой к мере Лебега на $[a,b]$) имеет ортонормированный базис из собственных векторов. Пусть $\{e_{i}\}$ являются собственными векторами $T$, соответствующими ненулевым собственным значениям и

$\mathbf {Z} _{i}=\int _{a}^{b}\mathbf {X} _{t}e_{i}(t)dt.$

Тогда $Z_{i}$ — центрированные ортогональные случайные величины и

$\mathbf {X} _{t}=\sum _{i=1}^{\infty }e_{i}(t)\mathbf {Z} _{i}$

ряд сходится в среднем квадратичном, а также равномерно по $t$. Кроме того

$\operatorname {Var} (\mathbf {Z} _{i})=\operatorname {E} (\mathbf {Z} _{i}^{2})=\lambda _{i}.$

где $\lambda _{i}$ собственное значение, соответствующее собственному вектору $e_{i}$.

Суммы Коши

В формулировке теоремы интеграл в определении $Z_{i}$ можно понимать как предел в среднем сумм Коши случайных величин

$\sum _{k=0}^{\ell -1}\mathbf {X} _{\xi _{k}}e_{i}(\xi _{k})(t_{k+1}-t_{k}),$

где

$a=t_{0}\leq \xi _{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq \xi _{\ell -1}\leq t_{n}=b$

Особый случай: гауссовское распределение

Так как предел в среднем квадратичном из совместно гауссовских случайных величин является гауссовским и совместно гауссовские случайные (центрированные) величины независимы тогда и только тогда, когда они являются ортогональными, мы можем также заключить:

Теорема. Случайные величины $Z_{i}$ имеют гауссовское распределение и являются независимыми, если первоначальный процесс {X_t}_t тоже является гауссовским.

В гауссовском случае, поскольку случайные величины $Z_{i}$ являются независимыми, мы можем быть уверены в том, что:

$\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{N}e_{i}(t)\mathbf {Z} _{i}(\omega )=\mathbf {X} _{t}(\omega )$

почти наверное.

Отметим, что обобщая теорему Мерсера, мы можем заменить интервал $[a,b]$ другими компактными пространствами $C$ , а меру Лебега на $[a,b]$ — борелевской мерой с носителем в $C$.

Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем. Здесь мы определяем его как центрированный гауссовский процесс B(t) с ковариационной функцией

$\mathrm {K} _{\mathrm {BB} }(t,s)=\operatorname {Cov} (B(t),B(s))=\min(s,t).$

Легко видеть, что собственные векторы ковариации равны

$e_{k}(t)={\sqrt {2}}\sin \left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi t$

а соответствующие собственные значения

$\lambda _{k}={\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}.$

Это позволяет получить нам следующее представление винеровского процесса:

Теорема. Существует последовательность {W_i}_i независимых гауссовких случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией такая, что

$\mathbf {B} _{t}={\sqrt {2}}\sum _{k=1}^{\infty }\mathbf {W} _{k}{\frac {\sin \left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi t}{\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}.$

Сходимость является равномерной по t в норме L² так, что

$\operatorname {E} \left(\mathbf {B} _{t}-{\sqrt {2}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {W} _{k}{\frac {\sin \left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi t}{\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}\right)^{2}\rightarrow 0$

равномерно по t.

Использование

Было высказано мнение, что в проекте SETI следует использовать преобразования Карунена-Лоэва для обнаружения сигналов с очень широким спектром. Аналогично, в системах адаптивной оптики иногда используют функции Карунена-Лоэва для восстановления информации о фазе фронта волны. (Dai 1996, JOSA A).

См. также

• Метод главных компонент
• Нейронная сеть Кохонена
• Полиномиальный хаос

Ссылки

• И. И. Гихман, А. В. Скороход, Введение в теорию случайных процессов (недоступная ссылка).- М.: Наука, 1965.
• B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979
• K. Karhunen, Kari, Uber lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. I. Math.-Phys., 1947, No. 37, 1-79
• М. Лоев, Теория вероятностей, — М.: ИЛ, 1962.
• G. Dai, Modal wave-front reconstruction with Zernike polynomials and Karhunen-Loeve functions, JOSA A, 13, 6, 1996

Литература

• Ярославский Л. П. Введение в цифровую обработку изображений. — М.: Советское радио, 1979. — 312 с.
• Френкс Л. Теория сигналов. — М.: Советское радио, 1974. — 399 с.