Теорема о вырезании

Теорема о вырезании — это теорема алгебраической топологии об относительной гомологии и одной из аксиом Эйленберг-Стинрода. Пусть заданы топологическое пространство $X$ и подпространства $A$ и $U$, такие что $U$ также является подпространством $A$. Теорема гласит, что при определённых обстоятельствах, мы можем вырезать $U$ из обоих пространств так, что относительные гомологии пар $(X\setminus U,A\setminus U)$ в $(X,A)$ будут изоморфны.

Это помогает в вычислении групп сингулярной гомологии, так как иногда после вырезания подходящего подпространства мы получаем что-то более простое для вычисления.

Теорема

Утверждение

Если $U\subseteq A\subseteq X$, как указано выше, мы говорим, что $U$ может быть вырезано, если включение пары $(X\setminus U,A\setminus U)$ в $(X,A)$ индуцирует изоморфизм на относительных гомологиях:

$H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)$

Теорема утверждает, что если замыкание $U$ содержится во внутренности $A$, то $U$ можно вырезать.

Часто подпространства, которые не удовлетворяют этому условию содержания, всё равно можно вырезать — достаточно найти ретракт подпространств на подпространства, которые удовлетворяют ему.

Набросок доказательства

Доказательство теоремы о вырезании интуитивно понятно, хотя детали довольно сложны. Идея состоит в том, чтобы разбить симплексы в относительном цикле в $(X,A)$, чтобы получить другую цепь, состоящую из «меньших» симплексов, и продолжать этот процесс, пока каждый симплекс в цепи не будет полностью лежать внутри $A$ или внутри $X\setminus U$. Поскольку они образуют открытое покрытие для $X$ и симплексы являются компактными, мы в конечном итоге можем сделать это за конечное количество шагов. Этот процесс не изменяет исходный гомологический класс цепи (это говорит о том, что оператор разбиения — цепной гомотопический к идентичному отображению на гомологии). В относительной гомологии $H_{n}(X,A)$ это означает, что все члены, полностью содержащиеся внутри $U$, можно отбросить, не влияя на гомологический класс цикла. Это позволяет нам показать, что включение является изоморфизмом, поскольку каждый относительный цикл эквивалентен тому, который полностью избегает $U$.

Применения

Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Теорема о вырезании считается одной из аксиом Стинрода — Эйленберга.

Последовательности Майера — Вьеториса

Последовательность Майера — Вьеториса может быть получена с помощью комбинации теоремы о вырезании и длинной точной последовательности.

Теорема о суспензии для гомологий

Теорему о вырезании можно использовать для вывода теоремы о суспензии для гомологий, которая гласит ${\tilde {H}}_{n}(X)\cong {\tilde {H}}_{n+1}(SX)$ для всех $n$, где $SX$ — это суспензия $X$.

Инвариантность размерности

Если непустые открытые множества $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ и $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ гомеоморфны, то m = n. Это следует из теоремы о вырезании, длинной точной последовательности для пары $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-x)$ и того факта, что $\mathbb {R} ^{n}-x$ деформируется на сферу. В частности, $\mathbb {R} ^{n}$ не гомеоморфно $\mathbb {R} ^{m}$, если $m\neq n$.

Библиография

• Джозеф Джей Ротман, Введение в алгебраическую топологию, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1
• Аллен Хатчер, Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.