K3-поверхность

K3-поверхность (читается ка-три, в честь Куммера, Келера и Кодаиры) — связная односвязная компактная комплексная поверхность (то есть комплексное многообразие комплексной размерности два), допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Квартика в $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$

Вещественные точки некоторой квартики

Одним из самых простых примеров K3-поверхностей даётся гладкими поверхностями четвёртой степени в комплексном проективном пространстве. Для того, чтобы доказать, что эти поверхности удовлетворяют определению K3-поверхности, однако, требуется некоторое знакомство с теорией линейных расслоений.

Именно, с точки зрения линейных расслоений, однородные функции степени $n$ на проективном пространстве $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ суть сечения линейного расслоения ${\mathfrak {O}}(n)$ — $n$-ной степени тавтологического расслоения ${\mathfrak {O}}(1)$. Если $L\to X$ — некоторое линейное расслоение, и $s\in \Gamma (L)$ — его сечение, притом его нулевой уровень $Y=\{x\in X\colon s(x)=0\}$ есть гладкое подмногообразие, то его дифференциал $ds$ определяет в каждой точке $y\in Y$ отображение $T_{y}X\to L_{y}$, ядро которого есть в точности $T_{y}Y$. Тем самым, учитывая гладкость $Y$, имеем изоморфизм расслоений $TX|_{Y}/TY{\xrightarrow {ds}}L|_{Y}$. Этот фактор $TX|_{Y}/TY=\nu _{Y/X}$ называется нормальным расслоением; в частности, видим, что нормальное расслоение к гладкой квартике $Y=Y_{4}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ изоморфно ${\mathfrak {O}}(4)|_{Y}$.

С другой стороны, нормальное расслоение вписывается в точную последовательность $0\to TY\to TX|_{Y}\to \nu _{Y/X}$. Дуализируя, получаем точную последовательность $0\to \nu _{Y/X}^{*}\to T^{*}X|_{Y}\to T^{*}Y\to 0$, и, вычисляя старшую внешнюю степень и пользуясь её функториальными свойствами, имеем изоморфизм линейных расслоений $K_{X}|_{Y}\cong K_{Y}\otimes \nu _{Y/X}^{*}$, или, по двойственности, $K_{Y}\cong K_{X}|_{Y}\otimes \nu _{Y/X}$ (эта формула называется формулой присоединения). Применяя формулу присоединения к случаю, когда $X=\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ (каноническое расслоение которого изоморфно ${\mathfrak {O}}(-m-1)$ согласно точной последовательности Эйлера), имеем ${\mathfrak {O}}(-m-1)=K_{Y}\otimes \nu _{Y/\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}^{*}$. В частности, когда $Y$ — гладкая гиперповерхность степени $m+1$, её каноническое расслоение тривиально. Для $m=2$ отсюда следует, что гладкая кубическая кривая на плоскости является эллиптической кривой, для $m=3$ отсюда следует наличие нигде не зануляющейся голоморфной 2-формы на поверхности четвёртой степени в проективном пространстве (вообще же отсюда следует, что гладкая гиперповерхность степени $m+1$ в $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ является многообразием Калаби-Яу).

Осталось доказать односвязность квартики. Для этого рассмотрим вложение по линейной системе ${\mathfrak {O}}(4)$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{34}$, относительно которого гиперплоские сечения высекают на образе ровно нулевые уровни однородных полиномов степени четыре (тем самым наша квартика $Y$ есть подходящее гиперплоское сечение образа $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ при таком вложении). По теореме Лефшеца о гиперплоском сечении оно устанавливает изоморфизм фундаментальных групп $\pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3})$, а фундаментальная группа комплексного проективного пространства, как известно, тривиальна. Таким образом, гладкая квартика $Y$ ещё и односвязна, и, стало быть, является K3-поверхностью.

В вышеизложенном единственное принципиальное свойство $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ — наличие у расслоения, двойственного к каноническому, сечения, нулевой уровень которого — гладкая поверхность. Тем же свойством обладает любое трёхмерное многообразие Фано, например $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$. В данном случае антиканоническое расслоение ограничивается на каждый из сомножителей как его собственное антиканоническое расслоение, то есть ${\mathfrak {O}}_{\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}(2)$, так что всякий антиканонический дивизор пересекает каждую из таких «координатных осей» в двух точках. Таким образом, такая K3-поверхность будет обладать тремя инволюциями: переставляющими точки пересечения с первым, вторым и третьим сомножителем. Аналогичная пара инволюций также имеется на кривой в $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$, пересекающей оба сомножителя по два раза. Как известно, $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ биголоморфно квадрике в $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$, а такая кривая будет лежащей на квадрике эллиптической кривой. Эти две инволюции в данном случае будут порождать действие группы $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$, свободного произведения, изоморфного бесконечной группе диэдра. Таким образом, либо орбиты этого действия на эллиптической кривой плотны, либо же это действие пропускается через конечный фактор (то есть какую-то группу диэдра конечного порядка), и все его орбиты конечны. Это утверждение имеет инкарнацию в элементарной геометрии, известную как поризм Понселе. В случае K3-поверхности три инволюции порождают действие куда более сложного тройного свободного произведения $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$, интересное с точки зрения голоморфной динамики.

Риччи-плоская метрика и куммеровы K3-поверхности

Эрнст Куммер

Все K3-поверхности кэлеровы (это доказал Сиу). Поскольку на них имеется нигде не зануляющаяся голоморфная форма старшей степени, к ним применима теорема Калаби — Яу, то есть для каждого класса $[\omega _{g}]$, представляемого как симплектическая форма кэлеровой метрики $g$, существует метрика нулевой кривизны Риччи в данном классе. Вместе с тем, эту метрику невозможно написать явно: теорема Калаби — Яу есть лишь теорема о существовании, но ни в коей мере не явная конструкция.

Единственный случай, когда существует хоть какое-то приближение — это случай так называемых куммеровых поверхностей. Пусть $A$ — комплексный тор, то есть фактор $\mathbb {C} ^{2}/\Lambda$, где $\Lambda$ — решётка ранга четыре. Рассмотрим фактормногообразие $A/\{x\sim -x\}$. Стандартная голоморфная 2-форма $dz\wedge dw$ на $A$ (спускающаяся с $\mathbb {C} ^{2}$) инвариантна относительно умножения на $-1$, стало быть, она спускается на неособый локус в факторе. Особенности же имеют вид $\mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$; раздутие в такой особенности локально есть кокасательное расслоение к $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$, и стандартная голоморфная 2-форма продолжается в такое раздутие. Особенности $A/\{\pm 1\}$ это в точности точки 2-кручения на четырёхмерном торе, их $2^{4}=16$ штук. Итак, раздувая эти $16$ квадратичных особенностей, можно получить поверхность с тривиальным каноническим классом. Легко видеть, что она односвязна. Такая K3-поверхность называется куммеровой K3-поверхностью, связанной с комплексным тором $A$. В отличие от предыдущих примеров, такая поверхность может быть уже не вкладываться в проективное пространство, если не был проективным изначальный тор $A$.

Риччи-плоская метрика на тотальном пространстве голоморфного кокасательного расслоения к $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ достаточно хорошо известна: это метрика Калаби — Эгучи — Хансона. Сложный аналитический вопрос состоит в том, как склеить её с плоской метрикой на гладкой части фактора тора при вдувании новых рациональных кривых. Для этого обе метрики необходимо менять глобально. Этот вопрос изучал Дональдсон. В его оптике он связан с вопросами о конструкциях многообразий со специальными голономиями (такими как G2-многообразия), которые, в отличие от K3-поверхностей, не имеют алгебраико-геометрического описания.

Топология K3-поверхностей

Келер

Топология куммеровых K3-поверхностей особенно понятна. Так, её второе число Бетти $b_{2}$ равняется $6+16=22$: $6$ происходят с изначального четырёхмерного тора, а $16$ — из шестнадцати вдуваемых кривых. Стало быть, эйлерова характеристика у них равна $1+22+1=24$.

Оказывается, то же самое верно и для любой другой K3-поверхности: все K3-поверхности диффеоморфны. Более того, они, что называется, деформационно эквивалентны: любые две комплексные структуры K3-поверхности можно связать непрерывным путём в пространстве всех комплексных структур. Решётка $H_{2}(K3,\mathbb {Z} )$ с её родной формой пересечения изоморфна $E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$, где $E_{8}$ — решётка E8, а $U$ — стандартная гиперболическая решётка. В частности, сигнатура решётки вторых когомологий равняется $(3,19)$.

Поскольку все K3-поверхности кэлеровы, имеет смысл говорить об их числах Ходжа: у всех K3-поверхностей они равны $h^{2,0}=h^{0,2}=1$, $h^{1,1}=20$. Отсюда при помощи теоремы Ходжа об индексе легко вывести утверждение о сигнатуре.

Эллиптические K3-поверхности

Кодаира

Весьма примечательна геометрия K3-поверхностей, на которых имеется эллиптическая кривая. Именно, пусть $X$ — K3-поверхность, и $E\subset X$ — эллиптическая кривая. Из формулы присоединения (см. выше) мы знаем, что $K_{E}\cong K_{X}|_{E}\otimes \nu _{E/X}$. Но каноническое расслоение и у K3-поверхности, и у эллиптической кривой тривиально. Стало быть, и нормальное расслоение эллиптической кривой тривиально. Это означает, что эллиптическая кривая на K3-поверхности допускает семейство деформаций, которые не пересекают эту кривую (и друг друга). Эти деформации (включая и вырождающиеся) будут параметризовываться рациональной кривой, то есть одна эллиптическая кривая $E\subset X$ на K3-поверхности определяет отображение $X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$, слои которого суть $E$ и её деформации. Это семейство называется пучком Лефшеца или эллиптическим расслоением. Сама такая K3-поверхность называется эллиптической K3-поверхностью.

У эллиптического расслоения на K3-поверхности всегда имеются особые слои (поскольку эйлерова характеристика K3-поверхности равна $24$, а у эллиптической кривой она нулевая). Если все слои наиболее возможно простые — то есть просто декартовы листы, имеющие эйлерову характеристику $1$, то особых слоёв должно быть $24$ (вообще говоря, их будет меньше). На базе вне точек, слои над которыми особы имеется плоская связность, называемая связностью Лиувилля — Арнольда. Монодромия такой связности лежит в группе $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$. Рассмотрим группу ${\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}$, получающаюся как прообраз $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ в универсальном накрытии $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$. Это центральное расширение $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ при помощи $\pi _{1}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z}$. Обозначим образующую этой циклической подгруппы за $u$. Оказывается, существует гомоморфизм $i\colon {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}\to \mathbb {Z}$ такой, что $i(u)=12$. Аналог теоремы Гаусса — Бонне, доказанная Концевичем и Сойбельманом, утверждает, что если на поверхности $S$ с $n$ проколами $x_{1},\dots ,x_{n}$ имеется плоская связность с монодромией $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$, то имеет место равенство $\sum _{k=1}^{n}i(\gamma _{k})=12\chi (S)$, где $\gamma _{k}$ — монодромия вокруг прокола $x_{k}$. В частности, если все $i(\gamma _{k})$ равны единице, получаем всё те же двадцать четыре прокола.

Теорема Торелли

Если имеется голоморфное семейство K3-поверхностей над единичным диском, расслоение их вторых когомологий тривиализуется связностью Гаусса — Манина. Вместе с тем, как вариация структур Ходжа, оно уже не будет тривиальным (если не было тривиальным само семейство).

Структура Ходжа типа той, что на вторых когомологиях K3, однозначно определяется прямой $H^{2,0}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$, порождённой классом голоморфной 2-формы $\Omega$. Поскольку $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}$ есть форма объёма риччи-плоской метрики, а $\Omega \wedge \Omega =0$ умножается на себя нулём, эта прямая изотропна относительно формы пересечения. Таким образом, она может лежать только на некоторой гладкой квадрике в $\mathrm {P} (H^{2}(K3,\mathbb {C} ))$. Условие же $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$ выделяет на этой квадрике некоторое открытое подмножество. Его можно описать следующим образом как однородное пространство.

Рассмотрим двумерное пространство $\mathrm {span} \{[\Omega ],[{\bar {\Omega }}]\}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$. Оно инвариантно относительно комплексного сопряжения, и потому является комплексификацией некоторого двумерного вещественного подпространства $U_{\Omega }\subset H^{2}(K3,\mathbb {R} )$. Зададим на нём вещественный оператор как умножение на ${\sqrt {-1}}$ вдоль $[\Omega ]$ и на $-{\sqrt {-1}}$ вдоль $[{\bar {\Omega }}]$. На вещественной плоскости $U_{\Omega }$ этот оператор действует как поворот на $90^{\circ }$ и тем самым определяет ориентацию. Из соотношения $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$ следует, что форма пересечения на этой плоскости положительно определена. Обратно, если имеется такая плоскость, то в комплексификации имеется ровно две изотропные прямые, и выбор только одной из них даёт необходимую ориентацию. Таким образом, искомое открытое подмножество в квадрике — это то же самое, что множество ориентированных двумерных плоскостей с положительно определённым скалярным произведением в пространстве сигнатуры $(3,19)$. Группа изометрий такого пространства $\mathrm {SO} (3,19)$ действует на таких плоскостях транзитивно со стабилизатором $\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)$. Итак, этот фактор ${\frac {\mathrm {SO} (3,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)}}$ называется пространством периодов. Это, как видно из описания как открытого подмножества в квадрике, комплексное многообразие (это же можно увидеть и из вещественного описания, отождествляя ориентированную двумерную плоскость с плоскостью Аргана, то есть попросту комплексными числами — эквивалентность этих описаний есть несложное упражнение). С каждым семейством K3-поверхностей над диском связано голоморфное отображение из диска в это пространство периодов, называемое отображением периодов. Локальная теорема Торелли утверждает, что семейство K3-поверхностей над небольшим диском однозначно восстанавливается по своему отображению периодов.

Если мы хотим рассматривать только алгебраические K3-поверхности, то разумно фиксировать класс гиперплоского сечения $[\omega ]\in H^{1,1}$, он же класс кэлеровой формы (K3-поверхности с фиксированным классом гиперплоского сечения называются поляризованными). Поскольку $\Omega \wedge \omega =0$, имеем дополнительное ограничение: $[\Omega ]\in [\omega ]^{\perp }$. Поскольку $\omega \wedge \omega >0$, это означает, что в таком случае $[\Omega ]$ может принимать значения только в подмножестве пространства периодов, устроенном как ${\frac {\mathrm {SO} (2,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (19)}}$. Это фактор группы по максимальной компактной подгруппе, и по теореме Картана биголоморфна некоторой ограниченной области в комплексном пространстве (в данном случае $\mathbb {C} ^{1}9$). Эта область похожа на область Зигеля, и для рода два тесно с ней связана: сопоставление абелевой поверхности её куммеровой K3-поверхности даёт отображение области Зигеля рода два в область периодов. Модулярные формы на этой области дают интересную связь между классической теорией чисел и алгебраической геометрией.

Вместе с тем, действие ортогональной группы, сохраняющей решётку $H^{2}(K3,\mathbb {Z} )$, на пространстве периодов, весьма далеко от того, чтобы фактор по этому действию имел хоть какой-то геометрический смысл. Так, образ области Зигеля при указанном выше сопоставлении — аналитическое подмногообразие большой коразмерности, но при этом любая алгебраическая K3-поверхность может быть сколь угодно малой деформацией превращена в куммерову K3-поверхность — то есть сдвиги этого образа под действием решётки образуют всюду плотное множество. Поэтому для формулировки глобального утверждения разумнее говорить не об изоморфизме факторов, а о голоморфном отображении, перестановочном с действием целочисленной ортогональной группы.

Именно, рассмотрим множество всех комплексных структур кэлерова типа на K3-поверхности. Фактор его по действию связной компоненты группы диффеоморфизмов — гладкое комплексное многообразие, хотя и нехаусдорфово (для кривых аналогичный фактор оказывается хаусдорфов и хорошо известен как пространство Тейхмюллера). Тогда отображение, отождествляющее точки, не отделимые друг от друга непересекающимися окрестностями, хорошо определено, и фактор по нему — гладкое комплексное многообразие, отображающееся отображением периодов на пространство периодов, и притом биголоморфно. Это утверждение и есть глобальная теорема Торелли.

Вырождения K3-поверхностей

Куликов

Рассмотрим случай голоморфного семейства над диском, все слои которого, кроме центрального — K3-поверхности, а центральный — некий особый дивизор с нормальными пересечениями, компоненты которого — гладкие поверхности кратности один, а всё тотальное пространство гладко. Такое семейство называется хорошим вырождением. Аналогичный вопрос для эллиптических кривых (см. выше) был изучен Кодаирой: он показал, что минимальные (то есть не допускающие сдутий) вырождения эллиптических кривых имеют тривиальное каноническое расслоение, и дал классификацию таких вырождений (более-менее в терминах диаграмм Дынкина). В случае вырождений поверхностей помимо раздутия центрального слоя существуют ещё так называемые модификации — нетривиальные бирациональные преобразования тотального пространства, сохраняющие слои и бирегулярные на каждом гладком слое. Вик. Куликов доказал, что после некоторой модификации тотальное пространство минимального хорошего вырождения K3-поверхностей также имеет тривиальное каноническое расслоение, и что перестройкой вырождение можно свести к одному из трёх случаев:

• центральный слой — гладкая K3-поверхность,
• центральный слой есть объединение гладких поверхностей $V_{1}\cup V_{2}\cup \dots \cup V_{n-1}\cup V_{n}$, притом поверхность $V_{i}$ пересекается только с поверхностями $V_{i\pm 1}$, все пересечения — эллиптические кривые, поверхности $V_{1}$ и $V_{n}$ рациональны, а поверхности $V_{2},\dots V_{n-1}$ — линейчатые эллиптические поверхности,
• центральный слой есть объединение рациональных поверхностей, пересекающихся по рациональным кривым; комплекс, вершины которого — неприводимые компоненты центрального слоя, рёбра — кривые, по которым они пересекаются, а грани — точки, в которых сходятся эти кривые, есть триангуляция двумерной сферы.

Примером вырождения II типа по Куликову может служить вырождение гладкой квартики в объединение двух квадрик (пересечение их — эллиптическая кривая), а вырождения III типа — вырождение гладкой квартики в объёдинение четырёх плоскостей (то есть поверхность тетраэдра — если вершины этого тетраэдра вещественны, упомянутая триангуляция будет двойственна к той, что дана этим тетраэдром).

Вырождения риччи-плоских метрик на K3-поверхностях

К вырождениям K3-поверхностей можно относиться по-разному. Помимо вышеописанной алгебраико-геометрической перспективы, на них можно смотреть с точки зрения дифференциальной геометрии. Именно, зафиксируем комплексную структуру $I$ на K3-поверхности $X$, и рассмотрим кэлеров конус ${\mathfrak {C}}_{X}\subset H^{1,1}(X)$, то есть конус классов $[\omega ]$ таких, что $\omega (x,y)=\omega _{g}(x,y)=g(Ix,y)$ для какой-то кэлеровой метрики $g$. Это некоторый открытый конус, лежащий в конусе классов с $\alpha \wedge \alpha >0$ и $\int _{C}\alpha >0$ для всякой кривой $C\subset X$. Благодаря теореме Калаби — Яу, каждой точке этого конуса соответствует единственная риччи-плоская метрика. А что будет происходить с этой метрикой, если устремить точку конуса к его границе?

Ответ зависит, конечно, от точки на границе, к которой мы её устремляем. Например, если $X$ — куммерова K3-поверхность, и $\alpha$ — $(1,1)$-форма, поднимающаяся с формы на абелевой поверхности, с которой она связана, то класс $[\alpha ]$ численно эффективен (то есть лежит в замыкании кэлерова конуса), и $\int _{X}\alpha \wedge \alpha >0$ (такие классы называются объёмными). Вместе с тем, кэлеровым он не является, поскольку имеем $\alpha |_{C}=0$, где $C$ — любая из шестнадцати исключительных кривых. В этом случае предел метрик хорошо определён (в смысле предела Громова — Хаусдорфа, не зависит от пути в кэлеровом конусе, и сходится к метрическому пополнению некоторой неполной риччи-плоской кэлеровой метрики, определённой вне шестнадцати исключительных кривых. Общий результат такого рода (для произвольных многообразий Калаби — Яу) был доказан Тосатти, Жангом и соавторами, но для куммеровых K3-поверхностей был получен ещё Лебрюном.

Вместе с тем, если класс $\alpha$ не является объёмным, то вырождение происходит иначе, и происходит т. н. схлопывание — предельное пространство имеетв определённом смысле меньшую размерность. Например, если $X$ — эллиптическая K3-поверхность, и $\alpha$ — обратный образ класса Фубини — Штуди с базы эллиптического пучка, то $\alpha \wedge \alpha =0$. Предельное поведение риччи-плоских метрик в такой ситуации было исследовано Гроссом и Вильсоном.

Динамические свойства K3-поверхностей

K3-поверхности часто допускают автоморфизмы, динамика которых хаотична (например, в том смысле, что их топологическая энтропия положительна, и имеется собственный класс в $H^{1,1}$ с собственным числом больше $1$). Например, таким свойством обладает автоморфизм, получающийся на куммеровой поверхности, связанной с тором $\mathbb {C} ^{2}/\{\mathbb {Z} \oplus {\sqrt {-1}}\mathbb {Z} \}^{2}$, подъёмом арнольдова автоморфизма «окрошки из кошки», определённого матрицей ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$. Мера максимальной энтропии в этом случае абсолютно непрерывна по мере Лебега; Канта и Дюпон доказали, что в алгебраическом случае все K3-поверхности с автоморфизмом такого свойства куммеровы (впоследствии Тосатти и Филип распространили это утверждение на неалгебраические K3-поверхности; этот результат был использован ими для построения классов на границе кэлерова конуса, сходимость риччи-плоских метрик при стремлении к которым обладает патологическими свойствами).

Голоморфную динамику описанной выше поверхности с тремя инволюциями изучал Барри Мазур.

Используя теорему Торелли, Макмуллен построил автоморфизмы K3-поверхностей, которые допускают диски Зигеля — то есть открытые области, сохраняемые автоморфизмом, и биголоморфные произведению двух дисков, на которых действие автоморфизма сопряжено повороту $(z,w)\mapsto (az,bw)$, где $|a|=|b|=1$ — числа, не являющиеся корнями из единицы.

История

Ранние математические исследования, которые мы теперь понимаем как исследования K3-поверхностей, относились не к геометрическим, а теоретико-числовым их аспектам — хотя в то время эти задачи часто формулировались в терминах евклидовой геометрии. Так, Ролль прославился в свое время тем, что нашел тетраэдр с целыми длинами сторон, все грани которого — прямоугольные треугольники (трехмерное обобщение пифагорова треугольника). Такой тетраэдр можно получить из прямоугольного параллелепипеда с целыми длинами ребер, целой пространственной диагональю, и целыми диагоналями в двух из граней (параллелепипед с таким свойством, у которого целочисленные диагонали во всех трех гранях, до сих пор неизвестен). Эта задача, в обозначениях на чертеже справа, сводится к решению системы диофантовых уравнений:

${\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}$

В современных терминах это есть пересечение трех квадрик в пятимерном проективном пространстве $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{5}$, то есть K3-поверхность рода пять, а Ролль отыскал рациональную точку на этой K3-поверхности. Чуть позже другие примеры K3-поверхностей были исследованы Эйлером, также в процессе решения диофантовых уравнений (впоследствии его идеи были развиты Рамануджаном). Подлинно геометрический подход к K3-поверхностям был заложен гораздо позже, в трудах Кэли, Куммера и Энрикеса.

Название «K3-поверхность» предложил в 1958 году Андре Вейль (в честь Куммера, Келера и Кодаиры). Он также пытался доказать теорему Торелли для алгебраических K3-поверхностей. Несколько позже Кодаира доказал, что все K3-поверхности, в том числе и неалгебраические, деформационно эквивалентны (в частности, диффеоморфны). Также он расклассифицировал особые слои у эллиптических K3-поверхностей.

Локальная теорема Торелли для алгебраических K3-поверхностей была доказана в 1965 году Тюриной, а глобальная — Пятецким-Шапиро и Шафаревичем в 1971 году. На неалгебраические K3-поверхности глобальную теорему Торелли распространили Бёрнс и Рапопорт в 1975. В 1977 году расклассифицировал вырождения K3-поверхностей Виктор Куликов и описал K3-поверхности с конечными группами автоморфизмов Никулин.