Аксиома зависимого выбора — одно из ослаблений аксиомы выбора. Обычно обозначается как . Аксиома зависимого выбора следует из полной аксиомы выбора и влечёт за собой аксиому счётного выбора, таким образом, в .

Формулировка: если задано произвольное непустое множество с полным слева отношением (отношение называется полным слева, если для любого существует , что ), то существует такая последовательность элементов , что[1]:

.

Следующие утверждения эквивалентны в аксиоме зависимого выбора: теорема Бэра о категориях[2]; теорема Лёвенгейма — Скулема[3][4]; лемма Цорна для конечных цепей. У леммы Цорна для конечных цепей есть две эквивалентных формулировки:

  • если в частично упорядоченном множестве все цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.[1];
  • если в частично упорядоченном множестве все вполне-упорядоченные цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.[5]

(Несмотря на то, что вторая формулировка сильнее, чем первая, они эквивалентны в .)

Обобщения править

Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей: если в формулировке аксиомы зависимого выбора допустить не только счётные последовательности, но и трансфинитные, можно получить усиление этой аксиомы.

Пусть   — некоторый ординал. Функция   называется трансфинитной последовательностью типа  . Обозначим за   множество всех последовательностей типа меньше  . Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей формулируется для определённого начального ординала   и обозначается как  .

Пусть задано непустое множество   и полное слева бинарное отношение  . Тогда   утверждает, что существует трансфинитная последовательность   типа   такая, что  [5].

Аксиома   эквивалентна  . Обобщения же для больших ординалов строго сильнее её, но слабее полной аксиомы выбора:  . Выполнение же   для любых начальных ординалов эквивалентно полной аксиоме выбора:  [6].

Для аксиом   есть соответствующие им эквивалентные ослабления леммы Цорна:

  • если в частично упорядоченном множестве все цепи вполне упорядочены, имеют порядковый тип меньше   и имеют верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент[5];
  • если в частично упорядоченном множестве каждая вполне упорядоченная цепь имеет порядковый тип меньше   и имеет верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент[5].

Примечания править

  1. 1 2 Wolk, 1983, с. 365.
  2. Blair, 1977.
  3. Moore, 1982, с. 325.
  4. Boolos, 1989, с. 155.
  5. 1 2 3 4 Wolk, 1983, с. 366.
  6. Wolk, 1983, с. 367.

Литература править

  • Wolk Elliot S. On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma (англ.) // Canadian Mathematical Bulletin : журнал. — 1983. — Vol. 26, no. 3. — P. 365–367. — doi:10.4153/CMB-1983-062-5.
  • Blair Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. : журнал. — 1977. — Т. 25, № 10. — С. 933–934.
  • Moore Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. — Springer, 1982. — ISBN 0-387-90670-3.
  • Boolos George S., Jeffrey Richard C. Computability and Logic. — 3rd. — Cambridge University Press, 1989. — ISBN 0-521-38026-X.