Аналитический элемент

Аналитический элемент — понятие в комплексном анализе, применяемое для удобства определения аналитического продолжения; оно вводится как упорядоченная пара $(G,f)$, где $G\subset \mathbb {C}$ — некоторая односвязная область, а $f$ — аналитическая в этой области функция.

Аналитические элементы $(G_{1},f_{1})$ и $(G_{2},f_{2})$ называются аналитическим продолжением друг друга, если $G_{1}\cap G_{2}\neq \emptyset$ и на $\Delta$ — одной из связных компонент множества $G_{1}\cap G_{2}$ — выполняется тождественное равенство $f_{1}\equiv f_{2}$. Приведенное в таком виде определение в случае односвязности $\Delta$ полностью совпадает с понятием аналитического продолжения для функций. Однако в чистом виде аналитические элементы применяются достаточно редко, в основном используется их частный случай — канонический элемент.

Канонический элемент с центром в точке $z_{0}\in \mathbb {C}$ — аналитический элемент вида $(K,f)$, где $f$ — аналитическая в $z_{0}$ функция, а $K$ — круг сходимости ряда Тейлора функции $f$ в этой точке.

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.