Бисимметричная матрица

Бисимметричная матрица — квадратная матрица, симметричная относительно обеих диагоналей — главной и побочной, то есть одновременно являющаяся центросимметричной и персимметричной.

Может быть определена как матрица, для которой выполнено два утверждения:

• $A=A^{\intercal }$,
• $AJ=JA$,

где $J$ — перъединичная матрица того же размера, что и $A$. Условия на элементы могут быть выражены следующим образом:

• $a_{i,j}=a_{j,i}=a_{n+1-j,n+1-i}$,

где $n\times n$ — размерность матрицы.

Пример:

${\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}$.

Пример бисимметричной матрицы, используемой в приложениях — транспозиционная матрица.

Вещественные бисимметричные матрицы — это те и только те матрицы, чьи собственные вектора не меняются с точностью до знака при умножении на перъединичную матрицу.

Произведение двух бисимметричных матриц является центросимметричной матрицей.

Количество различных элементов биссиметричной $(n\times n)$-матрицы равно:

$\left\lfloor \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\right\rfloor$,

где через $\lfloor \cdot \rfloor$ — операция взятия целой части.