Вариация множества — число, характеризующее -мерную протяженность множества в -мерном евклидовом пространстве.
Нулевая вариация множества замкнутого ограниченного множества — это число компонент этого множества.
Для простейшего случая плоскости вариация первого порядка называется линейной вариацией множества и представляет собой интеграл:
от функции
где интегрирование ведётся по прямой , проходящей через начало координат;
— угол наклона к фиксированной оси;
— прямая, перпендикулярная к и пересекающая её в точке .
Нормирующая константа выбирается так, чтобы вариация отрезка совпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, например, для спрямляемых кривых, вариация множества равна длине кривой. Для замкнутой области со спрямляемой границей линейная вариация множества равна половине длины .
Вторая вариация множества (то есть порядка 2) есть двумерная мера множества . При .
Для -мерного евклидова пространства вариацией порядка ограниченного замкнутого множества называется интеграл
от нулевой вариации пересечения с -мерной плоскостью по пространству всех -мерных плоскостей из , с мерой Хаара, нормированной так, чтобы единичный -мерный куб имел вариацию множества .
Вариация множества совпадает с -мерной мерой Лебега множества . Для выпуклых тел вариация множества при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского[1].
Для вариация множества не зависит от того, вычисляется она для или для .
Для вариаций множеств справедлива следующая формула:
где — нормирующая константа.
Из следует, что .
Для любой последовательности чисел , где — целое, , ; , можно построить множество , для которого , . В этом выражается в некотором смысле независимость вариаций множества друг от друга.
, если и не пересекаются. В общем случае
Для вариации множества не монотонны, то есть может оказаться, что для .
Вариации множеств полунепрерывны, то есть если последовательность замкнутых ограниченных множеств сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству , то
Если равномерно ограничены суммы, то
Вариация множества совпадает с -мерной мерой Хаусдорфа множества , если , а
Эти условия выполняются, например, для дважды гладких многообразий.
Понятие «вариация множества» возникло в связи с исследованием решений системы Коши — Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. Вариация множества является полезным аппаратом при решении некоторых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных[2], а также в вопросах аппроксимации[3][4].