Вектор Шепли

Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме её формирования. Назван в честь американского экономиста и математика Ллойда Шепли.[1][2]

Формальное определение

править

Для кооперативной игры рассмотрим некоторое упорядочение множества игроков  . Обозначим через   подмножество, содержащее   первых игроков в данном упорядочении. Вкладом  -го по счету игрока назовем величину  , где   — характеристическая функция кооперативной игры.

Вектором Шепли кооперативной игры называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции  , при равновероятном возникновении упорядочений:

 

где   — количество игроков,   — множество упорядочений множества игроков   — распределение выигрыша, в котором игрок, стоящий на месте   в упорядочении  , получает свой вклад в коалицию   (точка Вебера).

Более распространенная формула для вычисления вектора Шепли, не требующая нахождения   точек Вебера, имеет вид:

 

где   — количество игроков,   — количество участников коалиции  .

Аксиоматика вектора Шепли

править

Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам:

1. Линейность. Отображение   представляет собой линейный оператор, то есть для любых двух игр с характеристическими функциями   и  

 

и для любой игры с характеристической функцией   и для любого  

 

2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра   получена из игры   перестановкой игроков, то её вектор Шепли   есть вектор   с соответствующим образом переставленными элементами.

3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, то есть игрок   такой, что для любой коалиции  , содержащей  , выполнено:  .

Аксиома болвана состоит в том, что если игрок   — болван, то  .

4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, то есть сумма компонент вектора   равна  .

Теорема Шепли. Для любой кооперативной игры   существует единственное распределение выигрыша, удовлетворяющее аксиомам 1 — 4, задаваемое приведенной выше формулой.

Приложения

править

Одним из современных приложений вектора Шепли в машинном обучении является оценка влияния отдельных признаков примера на прогнозируемое значение при решении задачи классификации[3] или регрессии[4].

Примечания

править
  1. Shapley, Lloyd S. Notes on the n-Person Game – II: The Value of an n-Person Game. Santa Monica, Calif.: RAND Corporation (21 августа 1951). Дата обращения: 30 апреля 2023. Архивировано 30 апреля 2023 года.
  2. The Shapley Value: Essays in Honor of Lloyd S. Shapley. — Cambridge : Cambridge University Press, 1988. — ISBN 0-521-36177-X. — doi:10.1017/CBO9780511528446.
  3. Igantov, Dmitry I.; Kwuida, Leonard (2022). "On Shapley value interpretability in concept-based learning with formal concept analysis". Ann Math Artif Intell. 90: 1197—1222. Дата обращения: 30 апреля 2023.
  4. Strumbelj, Erik; Kononenko, Igor (2014). "Explaining prediction models and individual predictions with feature contributions". Knowl. Inf. Syst. 41: 647–665. Дата обращения: 30 апреля 2023.

Литература

править
  • Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики - М.: МГУ, 2005, 272 с.
  • Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
  • Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
  • Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
  • Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.

См. также

править