Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек , для которых выполняется соотношение , где  — диаметр окружности,  — полухорда этой окружности, перпендикулярная . Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Верзьера Аньези

ИсторияПравить

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.[1]

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch)[2]. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

УравненияПравить

 ,  

 
  • Параметрическое уравнение:
 , где   — угол между   и  
 
 

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

СвойстваПравить

  • Верзьера — кривая третьего порядка.
  • Диаметр   единственная ось симметрии кривой.
  • Кривая имеет один максимум —   и две точки перегиба —  
  • В окрестности вершины   верзьера приближается к окружности диаметра  . В точке   происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке  :  .
  • Площадь под графиком  . Она вычисляется интегрированием уравнения по всему  .
  • Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси  )  .

ПостроениеПравить

 
Построение верзьеры

Строится окружность диаметра   и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Интересные фактыПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. C. Truesdell. Correction and Additions for 'Maria Gaetana Agnesi // Archive for History of Exact Science. — 1991. — Vol. 43. — P. 385—386. — doi:10.1007/BF00374764.
  2. Pietro Fanfani. Vocabolario dell' uso toscano, p. 334 Архивная копия от 2 мая 2014 на Wayback Machine
  3. Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее. Дата обращения: 21 августа 2012. Архивировано 20 апреля 2012 года.