Волны Рэлея

Во́лны Рэлея — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея теоретически предсказавшего их в 1885 году[1].

Изображение волны Рэлея.

ОписаниеПравить

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности. Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.[2]

Изотропное телоПравить

Уравнение движения бесконечно малого объёма однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде


  (1)

где U — смещение бесконечного малого объёма относительно равновесного положения, λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=Ut+Ul, где Ul=grad φ и Ut=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений[3]:


  (2.1)
  (2.2)

Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x, z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид

  (3.1)
  (3.2)

где     — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн[4]:

  (4.1)
  (4.2)

где  ;  ;  ; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде

  (5.1)
  (5.1)

В случае свободной границы значение компонентов тензора напряжений принимают нулевые значение

  (6.1)
  (6.2)

После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно[5]

  (6)

где  ,  . Это уравнение имеет единственный корень относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:

  (7)

Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны[6]:

  (8.1)
  (8.2)
 
Дисперсионная кривая псевдорэлеевских волн

Практическое применение волн рэлеевского типаПравить

Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в инженерной сейсморазведке для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей[7], железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой[8]. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн (см. рис). Этот способ широко используется на практике и обоснован с точки зрения теории упругости.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.