Восьмиугольное число

Восьмиугольное число — разновидность многоугольных фигурных чисел, которая может быть представлена восьмиугольником. Общая формула n-го по порядку восьмиугольного числа: 3n² — 2n, где $n=1,2,3,\dots$.

Первые восьмиугольные числа:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936… последовательность A000567 в OEIS

Восьмиугольные числа могут быть созданы расположением треугольных чисел на четырёх сторонах квадрата. Алгебраически, n-е восьмиугольное число это

$x_{n}=n^{2}+4\sum _{k=1}^{n-1}k=3n^{2}-2n.$

n-е восьмиугольное число можно также вычислить, сложив квадрат n с удвоенным (n — 1)-м прямоугольным числом.

Восьмиугольные числа последовательно чередуют чётность.

Восьмиугольные числа иногда упоминаются как звёздные числа, хотя этот термин чаще используется для обозначения центрированных двенадцатиугольных чисел.

Тест на восьмиугольность числа

Для восьмиугольного числа $x_{n}$ верно, что

$n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.$

Произвольное число x можно проверить на восьмиугольность, поместив его в это уравнение. Если n — целое число, то x является n-м восьмиугольным числом. Если n не является целым числом, то x не является восьмиугольным.

См. также

• Центрированное восьмиугольное число

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

• Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula Архивная копия от 28 июля 2009 на Wayback Machine by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers Архивная копия от 6 марта 2016 на Wayback Machine by Marco Ripà