Гамма-сходимость

Γ-сходимость (Гамма-сходимость) – концепция сходимости функционалов, возникающая в вариационном исчислении, а также при изучении дифференциальных уравнений в частных производных.

Определение

Пусть $X$ – топологическое пространство. Тогда последовательность функционалов  $F_{n}:X\to [0,+\infty )$ Γ-сходится к $F$, если

• Для любой последовательности $x_{n}\in X$, такой что $x_{n}\to x$ при $n\to \infty$,

$F(x)\leq \liminf \limits _{n\to \infty }F_{n}\left(x_{n}\right)$.

• Для любого $x\in X$ существует последовательность $x_{n}$, сходящаяся к $x$, такая что

$F(x)\geq \limsup \limits _{n\to \infty }F_{n}\left(x_{n}\right)$.

Первое условие означает что $F$ является асимптотической нижней гранью $F_{n}$. Второе условие означает что эта нижняя грань является точной.

Свойства

• Сходимость минимизирующих последовательностей: если $F_{n}$ Γ-сходится к $F$, и если $x_{n}$ является минимизирующей последовательностью $F_{n}$, тогда любая предельная точка последовательности $x_{n}$ является (локальным) минимумом $F$.
• Γ-предел всегда является слабо полунепрерывным снизу (а следовательно, и полунепрерывным снизу).
• Γ-сходимость стабильна относительно непрерывных возмущений: Если $F_{n}$ Γ-сходится к $F$, и если $G:X\to [0,+\infty )$ – непрерывна, тогда $F_{n}+G$ Γ-сходится к $F+G$.
• Постоянная последовательность $F_{n}=F$ не обязательно Γ-сходится к $F$. Тем не менее, она сходится к "релаксации" $F$ – к наибольшему полунепрерывному снизу функционалу, ограниченному сверху функционалом $F$.

Приложения

Одним из наиболее важных приложений $\Gamma$-сходимости является теория упругости.