Быстрота́ (англ. rapidity, иногда применяются[1] также термины рапи́дити, гиперско́рость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.

Определение и свойства

править

Быстрота выражается формулой:

 

где

  •   — быстрота,
  •   — обычная скорость,
  •   — скорость света,
  •   — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс)   определён в области значений аргумента от −1 до +1; при   функция  

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от   до   меняется от   до  . Иногда вводят также параметр быстроты   — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где  , которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

  при  .

В ультрарелятивистском случае   параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс   (где α — угол вылета) следующим образом:

 

При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс   и параметр быстроты:

 
 


Фактор Лоренца

править

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

 

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

 

С увеличением скорости от 0 до   лоренц-фактор   увеличивается от 1 до  .

Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:

 

Аддитивность быстроты

править

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта   две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна  , а скорость второй относительно первой равна   (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе   через  . При малых (по сравнению со скоростью света  ) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей  . Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

 

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты  . Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта   равна сумме быстрот:

 

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Вводится также полная быстрота   аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.

Геометрический смысл быстроты

править

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского ( ) этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j2 = +1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρejφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = ejφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:

λ(φ)·λ(ψ) = ejφ·ejψ = ej(φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

править

Релятивистский импульс:

 

где:

  • m — масса,
  • c — скорость света,
  • φ = θ/c — параметр быстроты (безразмерная быстрота).

Полная энергия:

 

Скорость в СТО:

  Безразмерная скорость  

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

 

где   — параметр красного смещения.

См. также

править

Литература

править
  • Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского // Соросовский образовательный журнал. — 2004. — Т. 8. — С. 77—84.  
  • Гришин В. Г. Быстрота // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 233. — 707 с. — 100 000 экз.

Примечания

править
  1. Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов. — М.: Наука, 1970.