Гиперцикл (геометрия)

Гиперокружность, гиперцикл или эквидистанта — это кривая, точки которой имеют постоянное ортогональное расстояние до прямой (которая называется осью гиперокружности).

Диск Пуанкаре с гиперциклом HC для прямой L (она прямая, поскольку пересекает горизонт под прямыми углами), который проходит через точку P

Если задана прямая L и точка P, не лежащая на L, можно построить гиперцикл, взяв все точки Q, лежащие на той же стороне от L, что и P, и на том же расстоянии от L, что и P.

Прямая L называется осью, центром или базовой прямой гиперцикла.

Прямые, перпендикулярные оси, которые перпендикулярны и гиперциклу, называются нормалями гиперцикла.

Отрезки нормали между осью и гиперциклом называются радиусами.

Общая длина этих отрезков называется расстоянием или радиусом гиперцикла.

Гиперциклы через заданную точку, имеющие одну и ту же касательную в этой точке, сходятся к орициклу по мере стремления расстояния к бесконечности.

Свойства, подобные свойствам евклидовых прямых

Гиперциклы в геометрии Лобачевского имеют некоторые свойства, похожие на свойства прямых в евклидовой геометрии:

• На плоскости, если задана прямая и точка вне неё, существует только один гиперцикл для данной прямой, содержащий эту точку (сравните с аксиомой Плейфера для евклидовой геометрии).
• Никакие три точки гиперцикла не лежат на одной прямой.
• Гиперцикл симметричен любой прямой, перпендикулярной ему (отражение гиперцикла относительно прямой, перпендикулярной гиперциклу, даёт тот же самый гиперцикл.)

Свойства, подобные свойствам евклидовых окружностей

Гиперциклы в геометрии Лобачевского имеют некоторые свойства, похожие на свойства окружности в евклидовой геометрии:

• Прямая, перпендикулярная хорде гиперцикла в её середине, является радиусом и делит стягиваемую дугу пополам.

  Пусть AB — хорда и M — её середина.

  Ввиду симметрии, прямая R через M, перпендикулярная хорде AB, должна быть ортогональна оси L.

  Таким образом, R является радиусом.

  Также ввиду симметрии, R делит дугу AB пополам.

• Ось и расстояние гиперцикла определены однозначно.

  Предположим, что гиперцикл C имеет две различные оси $L_{1}$ и $L_{2}$.

  Используя предыдущее свойство дважды с различными хордами, мы можем определить два различных радиуса $R_{1}$ и $R_{2}$. $R_{1}$ и $R_{2}$ будут тогда перпендикулярны как $L_{1}$, так и $L_{2}$, что даёт прямоугольник. Получили противоречие, поскольку прямоугольник невозможен в геометрии Лобачевского.

• Гиперциклы имеют одинаковые расстояния тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.

  Если они имеют одинаковые расстояния, нам нужно привести оси к совпадению путём жёсткого движения, а тогда все радиусы совпадут. Поскольку радиус тот же самый, точки двух гиперциклов совместятся.

  Наоборот, если они конгруэнтны, расстояние должно быть тем же самым согласно предыдущему свойству.

• Прямые пересекают гиперцикл не более чем в двух точках.

  Пусть прямая K пересекает гиперцикл C в двух точках A и B. Как и ранее, мы можем построить радиус R гиперцикла C через среднюю точку M хорды AB. Заметим, что прямая K ультрапараллельна оси L, поскольку имеют общий перпендикуляр R. Также, две ультрапараллельные прямые имеют минимальное расстояние на общем перпендикуляре и расстояние монотонно увеличивается по мере отклонения от перпендикуляра.

  Это означает, что точки K внутри AB будут находиться на расстоянии от L меньшем, чем расстоянии от A и B до L, в то время как точки K вне отрезка AB будут иметь большее расстояние. В заключение, никаких других точек K нет на C.

• Два гиперцикла пересекаются максимум в двух точках.

  Пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ будут гиперциклами, пересекающимися в точках A, B и C.

  Если $R_{1}$ — прямая, ортогональная AB и проходящая через среднюю точку, мы знаем, что это радиус как для $C_{1}$, так и для $C_{2}$.

  Аналогично мы строим радиус $R_{2}$ через среднюю точку отрезка BC.

  $R_{1}$ и $R_{2}$ одновременно ортогональны осям $L_{1}$ и $L_{2}$ гиперциклов $C_{1}$ и $C_{2}$ соответственно.

  Мы уже доказали, что в этом случае $L_{1}$ и $L_{2}$ должны совпадать (иначе мы получим прямоугольник).

  Тогда $C_{1}$ и $C_{2}$ имеют те же оси и по меньшей мере одну общую точку, а потому они имеют то же самое расстояние и тоже совпадают.

• Никакие три точки гиперцикла не лежат на одной прямой.

  Если точки A, B и C гиперцикла лежат на одной прямой, то хорды AB и BC принадлежат одной и той же прямой K. Пусть $R_{1}$ и $R_{2}$ являются радиусами, проходящими через средние точки хорд AB и BC. Мы знаем, что ось L гиперцикла перпендикулярна как $R_{1}$, так и $R_{2}$.

  Но K также перпендикулярна им. Тогда расстояние должно равняться 0, и гиперцикл вырождается в прямую.

Другие свойства

• Длина дуги гиперцикла между двумя точками
  • больше длины отрезка между этими двумя точками,
  • меньше длины дуги одного из двух орициклов между этими двумя точками
  • меньше длины любой дуги окружности между этими двумя точками.
• Гиперцикл и орицикл пересекаются максимум в двух точках.

Длина дуги

На плоскости Лобачевского с постоянной кривизной $-1$ длину дуги гиперцикла можно вычислить из радиуса $r$ и расстояния $d$ между точками, в которых нормали пересекают ось, с помощью формулы:

$l=d\cdot \mathrm {ch} \,r$

Построение

В дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представляются прямыми и дугами окружности, пересекающими граничную окружность не под прямыми углами. Представление оси гиперцикла пересекает граничную окружность в тех же точках, но под прямыми углами.

В модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представляются прямыми и дугами окружности, пересекающими граничную прямую не под прямыми углами. Представление оси гиперцикла пересекает граничную прямую в тех же точках, но под прямыми углами.

Литература

Тричетырёхугольная мозаика на конформно-евклидовой модели имеет последовательности вершин, лежащих на гиперциклах.