Гипотеза Аго — Джуги

Гипотеза Аго — Джуги — теоретико-числовая гипотеза о числах Бернулли $B_{k}$, согласно которой $p$ является простым числом тогда и только тогда, когда $pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$.

Эквивалентные формулировки

Исторически первая формулировка гипотезы принадлежит итальянскому математику Джузеппе Джуге (1950), согласно которой $p$ является простым, если:

$\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$.

В этой формулировке простота числа $p$ достаточна для выполнения свойства, поскольку для простого $p$ малая теорема Ферма утверждает, что $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ для $a=1,2,\dots ,p-1$, откуда следует эквивалентность, поскольку $p-1\equiv -1{\pmod {p}}$.

Современная формулировка со связью с числами Бернулли принадлежит японскому математику Такаси Аго (Takashi Agoh, 1990).

Текущее состояние

Утверждение остаётся гипотезой, поскольку не доказано, что если $n$ является составным, то формула не выполняется. Было показано, что составное число $n$ удовлетворяет формуле тогда и только тогда, когда оно является и числом Кармайкла и числом Джуги одновременно, и если такое число существует, оно содержит как минимум 13 800 знаков. Laerte Sorini, наконец, в работе 2001 года показал, что возможным контрпримером к гипотезе должно быть число n больше 10³⁶⁰⁶⁷, которое представляет предел, предполагаемый Бедокки для демонстрационная техника, указанная Джугой в его собственном предположении.

Взаимосвязь с теоремой Вильсона

Гипотеза Аго — Джуги внешне сходна с утверждением теоремы Вильсона, согласно которой $p$ просто в том и только в том случае, когда $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$, что может быть записано как:

$\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p}}$

(утверждение гипотезы Аго — Джуги формулируется как:

$\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$.

Литература

• Takashi Agoh. On Giuga's conjecture // Manuscripta Mathematica. — 1995. — Т. 87, № 4. — С. 501–510. — doi:10.1007/bf02570490.
• D. Borwein, J.M. Borwein, P.B. Borwein, R. Girgensohn. Giuga's Conjecture on Primality // American Mathematical Monthly. — 1996. — Т. 103. — С. 40–50. — doi:10.2307/2975213. Архивировано 31 мая 2005 года.
• Giuseppe Giuga. Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi (итальянский) // Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur. — 1951. — Т. 83. — С. 511–518. — ISSN 0375-9164.
• Laerte Sorini. Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga (италбянский) // Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo. — 2001. — Т. 68. — С. 511–518. — ISSN 1720-9668.