Гипотеза Ферма — Каталана

Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение

имеет не более чем конечное число решений с различными тройками значений , где  — натуральные взаимно простые числа, а  — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению

На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:[1]

Решение  — это единственное решение, в котором одно из равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году Михайлеску[en].

Все решения были найдены для троек показателей равных .

По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных , удовлетворяющих неравенству , существует не более чем конечное число троек , удовлетворяющих уравнению , но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек .

abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана[1].

Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Pomerance, Carl (2008), Computational Number Theory, in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June & Leader, Imre, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, с. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2 .

СсылкиПравить

ЛитератураПравить