Гипотезы Мерсенна

Гипотезы Мерсенна касаются описания простых чисел чисел Мерсенна (чисел, равных степеням двойки без единицы).

Исходная гипотеза МерсеннаПравить

Исходная гипотеза, называемая гипотезой Мерсенна, это утверждение Марена Мерсенна в его работе Cogitata Physica-Mathematica (1644; см. Dickson 1919), что числа   простые для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составные для всех остальных положительных целых чисел n ≤ 257. Ввиду размеров этих чисел Мерсенн не проверил, и не мог проверить все эти числа в 17-м веке. В конечном счёте, после трёх столетий и доступности новых техник, таких как тест Люка — Лемера, было установлено, что гипотеза Мерсенна содержала пять ошибок, а именно, два составных (n = 67, 257) и три пропущенных простых (n = 61, 89, 107) чисел. Правильный список: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127.

Хотя исходная гипотеза Мерсенна не верна, она привела к Новой гипотезе Мерсенна.

Новая гипотеза МерсеннаПравить

Новая гипотеза Мерсенна или гипотеза Бейтмана, Селфриджа и Вагстафа[1] утверждает, что для любого нечётного натурального числа p, если выполняется любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

  1. p = 2k ± 1 или p = 4k ± 3 для некоторого натурального числа k. (A122834)
  2. 2p − 1 является простым (число Мерсенна). (A000043)
  3. (2p + 1) / 3 является простым (простое число Вагстафа). (A000978)

Если p является нечётным составным, то   и   составные числа. Таким образом, для проверки верности гипотезы достаточно проверять лишь простые числа.

На настоящий момент известно, что среди чисел, для которых все три условия выполняются, находятся 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (A107360), и предполагается, что среди чисел, больших 127, нет чисел, для которых все три условия выполняются.

Простые, для которых выполняется по меньшей мере одно условие

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (A120334)

Заметим, что два числа, с которыми Мерсенн ошибся (67 и 257), попадают в условия (67=26+3, 257=28+1), а 89 и 107 — нет. Таким образом, в исходном виде, Мерсенн мог думать, что 2p - 1 является простым тогда и только тогда, когда p = 2k ± 1 or p = 4k ± 3 для некоторого натурального k.

статус гипотезы Мерсенна для первых 100 простых
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
p имеет вид 2n±1 или 4n±3 2p-1 является простым (2p+1)/3 является простым p удовлетворяет по меньшей мере одному условию

Новая гипотеза Мерсенна может рассматриваться как попытка решить гипотезу Мерсенна столетней давности, которая не верна. Однако, согласно Роберту Д. Сильверману Архивная копия от 15 июня 2017 на Wayback Machine, Джон Селфридж считает, что новая гипотеза Мерсенна «очевидно верна», так как была сформулирована для удовлетворения известных данных и контрпримеры при условиях гипотезы крайне маловероятны. Её можно рассматривать скорее как курьёзное наблюдение, чем вопрос, требующий проверки.

Рено Лифшиц показал, что новая гипотеза верна для всех целых, меньших 20.996.010[2] путём последовательной проверки всех нечётных простых чисел, для которых известно, что одно условие выполняется. На его веб-сайте Архивная копия от 3 апреля 2019 на Wayback Machine задокументированы результаты проверки вплоть до указанного числа. Другая, более свежая версия страницы о новой гипотезе — Новая гипотеза о простых числах Мерсенна. Архивная копия от 6 марта 2018 на Wayback Machine

Гипотеза Ленстра — Померанса — ВагстафаПравить

Ленстра, Померанс, и Вагстаф высказали гипотезу, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна. Точнее, что число простых чисел Мерсенна, меньших x, асимптотически аппроксимируется выражением

 [3],

где  постоянная Эйлера — Маскерони. Другими словами, количество простых чисел Мерсенна с экспонентой p, меньшей y, асимптотически равно

 [3]

Это озаначает, что должно быть в среднем около   ≈ 5,92 простых чисел p с заданным количеством десятичных знаков, таких, что   является простым.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989, с. 125–128.
  2. The New Mersenne Prime Conjecture on Prime Pages. Дата обращения: 20 марта 2018. Архивировано 6 марта 2018 года.
  3. 1 2 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture Архивная копия от 5 марта 2018 на Wayback Machine. The Prime Pages[en]. Retrieved on 2014-05-11.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить