Гладкая функция

(перенаправлено с «Гладкость функции»)

Гладкая функция порядка 0непрерывная функция.

Гладкая функция порядка 1 — непрерывно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая непрерывную производную.

Гладкая функция порядка — дифференцируемая раз функция, плюс к этому -я производная является непрерывной.

Гладкая функция порядка — бесконечно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая производные всех порядков.

Гладкая функция порядка или вещественно-аналитическая функция, то есть функция, разложимая в степенной ряд окрестности точки (в окрестности каждой точки, если рассматривается гладкость на множестве).

Без уточнения порядка под гладкой функцией обычно понимают либо непрерывно-дифференцируемую функцию, либо бесконечно-дифференцируемую функцию, в зависимости от конкретного автора. Также довольно часто в конкретном месте под гладкой функцией понимают гладкую функцию порядка достаточного для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Гладкость может быть определена как в одной точке, так и на всей области определения. Множество гладких функций порядка на множестве обозначается как и называется классом гладкости. Классы гладкости упорядочены по включению следующим образом: ; таким образом, гладкая функция порядка является гладкой и всех порядков меньших . Гладкие функции порядка также называют -гладкими функциями.

Гладкие функции на различных множествах

править

Под областью значений гладкой функции всегда понимают  ; в случае множества   говорят о гладкой вектор-функции, а в случае произвольного многообразия — о гладком отображении. Под областью определения гладкой функции может пониматься вообще любое множество, имеющее структуру многообразия.

На подмножествах   гладкие функции могут быть определены на промежутках. На множестве из одной точки любая функция считается гладкой любого порядка. На интервалах работает определение приведённое выше, на полуинтервалах или отрезках в концевых точках рассматривается односторонняя производная. Также  -гладкая функция определяется для произвольного объединения промежутков и изолированных точек как функция,  -гладкая на каждом из них.

На подмножествах   всё работает аналогично, гладкость определяется на изолированных точках, открытых множествах, замкнутых областях и на различных других.

На гладком многообразии порядка   понятие гладкой функции может быть определено только до порядка   включительно.

Вектор-функция называется  -гладкой, если у неё все компоненты  -гладкие.

Приближение аналитическими функциями

править

Пусть   -- область в   и  ,  . Пусть   — последовательность компактных подмножеств   такая, что  ,   и  . Пусть   — произвольная последовательность положительных целых чисел и  . Наконец, пусть   — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует вещественно-аналитическая функция  , определённая в   такая, что для всякого   выполнено неравенство

 

где   обозначает максимум из норм (в смысле равномерной сходимости, то есть максимума модуля на множестве  ) производных функции   всех порядков от нуля до   включительно.

Дробная гладкость

править

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция   принадлежит классу  , где   — целое неотрицательное число и  , если имеет производные до порядка   включительно и   является гёльдеровской с показателем  .

В переводной литературе, наравне с термином показатель Гёльдера, используется термин показатель Липшица.

См. также

править