Гомологическое многообразие

Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.

Большинство утверждений о гомологиях многообразий, как например двойственность Пуанкаре, допускают естественные обобщения на случай гомологических многообразий.

Определение

Гомологическое G-многообразие (без границы) размерности n над абелевой группой $G$ есть локально компактное топологическое пространство $X$ с конечной $G$-когомологической размерностью такое, что для любой точки $x\in X$ группы гомологий

$H_{p}(X,X-x,G)=0$

при $p\neq n$ и

$H_{n}(X,X-x,G)=G.$

Здесь $H$ есть некоторая теория гомологий, обычно сингулярные гомологии.

Если группа $G$ не уточняется, то считается $G=\mathbb {Z}$.

Более общо, можно дать определение гомологического многообразия с границей, позволив локальной группе гомологий пропадать в каких-то точках, которые, конечно, образуют границу гомологического многообразия. Границa n-мерного гомологического многообразия является $(n-1)$-мерным гомологическим многообразием (без границы).

Примеры

• Любое топологическое многообразие является гомологическим многообразием.
• Сферическая надстройка над сферой Пуанкаре является 4-мерным гомологическим многообразием, но не многообразием.
  • Сферическая надстройка над любой гомологической сферой является гомологическим многообразием, но не всегда многообразием.

Свойства

• Двумерное гомологическое многообразие является топологическим многообразием.
• Если произведение пространств $X\times Y$ является топологическим многообразием, то каждое пространство $X$ и $Y$ является гомологическим многообразием.

Ссылки

• Гомологическое многообразие — статья из Математической энциклопедии. Е. Г. Скляренко
• W. J. R. Mitchell, «Defining the boundary of a homology manifold», Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 110, No. 2. (Oct., 1990), pp. 509—513.