Гравитационные волны (гидродинамика)

Не следует путать с гравитационными волнами в астрофизике — колебаниями интенсивности гравитационного поля.

Гравитацио́нные во́лны на воде́ — разновидность волн на поверхности жидкости, при которых сила, возвращающая деформированную поверхность жидкости к состоянию равновесия, есть просто сила тяжести, связанная с перепадом высот гребня и впадины в гравитационном поле.

Траектории условных частиц воды при не очень большой (сравнимой с длиной волны) глубине представляют собой эллипс, что иллюстрируется качанием бутылки

Свободные гравитационные волны в водном слое — волны, появляющиеся при движении по дну океана сейсмических волн — волн Лява и волн Рэлея. Они были обнаружены и исследованы в 2019 году при анализе данных с глубоководных обсерваторий DONET, полученных во время землетрясения и цунами 11 марта 2011 года в Японии. Эти волны появлялись более чем за час до цунами, возбуждаемые низкочастотными компонентами сейсмических волн в районе крутых подводных склонов. Их пиковая амплитуда была 3,5 см, период 170 с и длина порядка 22 км.

Общие свойства

Гравитационные волны на воде — это нелинейные волны. Точный математический анализ возможен лишь в линеаризованном приближении и в отсутствие турбулентности. Кроме того, обычно речь идёт про волны на поверхности идеальной жидкости. Результаты точного решения в этом случае описаны ниже.

Гравитационные волны на воде не поперечны и не продольны. При колебании частицы жидкости описывают некоторые кривые, то есть перемещаются как в направлении движения, так и поперёк него. В линеаризованном приближении эти траектории имеют вид окружностей. Это приводит к тому, что профиль волн не синусоидальный, а имеет характерные заострённые гребни и более пологие провалы.

Нелинейные эффекты сказываются, когда амплитуда волны становится сравнимой с её длиной. Одним из характерных эффектов в этом режиме является появление изломов на вершинах волн. Кроме того, появляется возможность опрокидывания волны. Эти эффекты пока не поддаются точному аналитическому расчёту.

Закон дисперсии для слабых волн

Поведение волн малой амплитуды можно с хорошей точностью описать линеаризованными уравнениями движения жидкости. Для справедливости этого приближения необходимо, чтобы амплитуда волны была существенно меньше как длины волны, так и глубины водоёма.

Имеется две предельные ситуации, для которых решение задачи имеет наиболее простой вид — это гравитационные волны на мелкой воде и на глубокой воде.

Гравитационные волны на мелкой воде

Приближение волн на мелкой воде справедливо в тех случаях, когда длина волны существенно превышает глубину водоёма. Классический пример таких волн — это цунами в океане: до тех пор, пока цунами не вышла на берег, она представляет собой волну амплитудой порядка нескольких метров и длиной в десятки и сотни километров, что, конечно же, существенно больше глубины океана.

Закон дисперсии и скорости волны в этом случае имеет вид:

$\omega ={\sqrt {gH}}\cdot k\,;\quad v_{ph}=v_{gr}={\sqrt {gH}},$

где $H$ — глубина водоёма (расстояние до дна от поверхности),

$g$ — напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения).

$\omega$ — угловая частота колебания в волне,

$k$ — волновое число (величина, обратная длине волны),

$v_{ph},v_{gr}$ — фазовая и групповая скорости соответственно.

Такой закон дисперсии приводит к некоторым явлениям, которые можно легко заметить на морском берегу.

• Даже если волна в открытом море шла под углом к берегу, то при выходе на берег гребни волны имеют тенденцию разворачиваться параллельно берегу. Это связано с тем, что вблизи берега, когда глубина начинает постепенно уменьшаться, скорость волны падает. Поэтому косая волна притормаживает на подходе к берегу, разворачиваясь при этом.
• За счёт аналогичного механизма при подходе к берегу уменьшается продольный размер цунами, при этом высота волны возрастает.

Гравитационные волны на глубокой воде

Приближение волны на глубокой воде справедливо, когда глубина водоёма значительно превышает длину волны. В этом случае для простоты рассматривают бесконечно глубокий водоём. Это обоснованно, поскольку при колебаниях поверхности реально движется не вся толща воды, а лишь приповерхностный слой глубиной порядка длины волны.

Закон дисперсии и скорости волны в этом случае имеет вид:

$\omega ={\sqrt {gk}}\,;\quad v_{ph}=2v_{gr}={\sqrt {g \over k}}.$

Из выписанного закона следует, что и фазовая, и групповая скорость гравитационных волн в этом случае оказывается пропорциональной длине волны. Другими словами, длинноволновые колебания будут распространяться по воде быстрее коротковолновых, что приводит к ряду интересных явлений:

• Бросив камень в воду и глядя на круги, образуемые им, можно заметить, что граница волн расширяется не равномерно, а примерно равноускоренно. При этом чем больше граница, тем более длинноволновыми колебаниями она формируется.
• Красивым следствием выписанного закона дисперсии являются корабельные волны.

Гравитационные волны в общем случае

Если длина волны сравнима с глубиной бассейна H, то закон дисперсии в этом случае имеет вид:

$\omega ={\sqrt {gk\cdot \operatorname {th} (kH)}}\,.$

Некоторые проблемы теории гравитационных волн на воде

• До сих пор не понят механизм формирования и устойчивости так называемых волн-убийц — внезапных волн экстремальной амплитуды.

См. также

• Девятибалльная шкала волнения моря

Литература

• Грац Ю. В. Лекции по гидродинамике.-М., Ленанд, 2014