Деривационные формулы Вайнгартена

Деривационные формулы Вайнгартена дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности в терминах первых производных радиус-вектора этой поверхности. Эти формулы выведены в 1861 году германским математиком Юлиусом Вайнгартеном.

Утверждение в классической дифференциальной геометрии

Пусть S будет поверхностью в трёхмерном евклидовом пространстве, которая параметризована радиус-вектором $\mathbf {r} (u,v)$ поверхности. Пусть $P=P(u,v)$ будет фиксированной точкой на поверхности. Тогда

$\mathbf {r} _{u}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},\quad \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$

являются двумя касательными векторами в точке P.

Пусть n будет единичным вектором нормали и пусть $(E,F,G)$ и $(L,M,N)$ будут коэффициентами первой и второй квадратичных форм этой поверхности соответственно. Дифференциальные формулы Вайнгартена дают первую производную единичного вектора нормали n в точке P в терминах касательных векторов $\mathbf {r} _{u}$ и $\mathbf {r} _{v}$:

$\mathbf {n} _{u}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}$

$\mathbf {n} _{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}$

Эти уравнения можно выразить компактно

$\partial _{a}\mathbf {n} =K_{a}^{~b}\mathbf {r} _{b}$,

где K_ab являются компонентами тензора кривизны поверхности.

Литература

• Weisstein, Eric W. Weingarten Equations (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Springer Encyclopedia of Mathematics, Weingarten derivational formulas
• Dirk J. Struik. Lectures on Classical Differential Geometry. — Dover Publications, 1988. — С. 108. — ISBN 0-486-65609-8.
• Erwin Kreyszig. Differential Geometry. — Dover Publications, 1991. — ISBN 0-486-66721-9., section 45.
• J. Weingarten. Ueber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flächen // Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. — 1861. — Т. 59.