Дискретное преобразование Хартли

Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) — разновидность дискретного ортогонального тригонометрического преобразования. Во многих случаях может служить заменой дискретного преобразования Фурье. Последовательность N действительных чисел h0, h1, ... , hN-1 преобразуется в последовательность N действительных чисел H0, H1, ... , HN-1 с помощью дискретного преобразования Хартли по формуле:

Обратное дискретное преобразование Хартли задаётся формулой:

где

Следует отметить, что в отличие от дискретного преобразования Фурье вычисление прямого и обратного преобразований Хартли осуществляется по формулам, вид которых совпадает с точностью до множителя 1\N. А также прямое преобразование Хартли дает ряд действительных чисел.

Имеют место следующие формулы перехода от ДПФ к ДПХ и наоборот:

Быстрое преобразование ХартлиПравить

Идея быстрого преобразования Хартли такая же, как и у быстрого преобразования Фурье: за счет симметрии можно сократить количество вычислений.


Исходную входную последовательность представим суммой последовательностей, полученных из четных и нечетных элементов:

 

где   — это  'ый элемент исходной последовательности.


Пусть для четной последовательности без нулей длинны  

 

Дискретное преобразование Хартли будет равно

 

Тогда по теореме о растяжении дискретного преобразования Харли, дискретное преобразование Харли для последовательности   будет равно:

 


Аналогично для нечетной последовательности:

Пусть для четной последовательности без нулей длинны  

 

Дискретное преобразование Хартли будет равно

 

Тогда по теореме о растяжении дискретного преобразования Харли, дискретное преобразование Харли для последовательности   будет равно:

 

Но чтобы получить   из  , нужно не только разделить нулями, но и сдвинуть на 1 элемент.

По теореме о сдвиге

 


Тогда ДПХ исходной последовательности:

 

См. такжеПравить