Иерархия вер

Иерархия вер (англ. belief hierarchy) — объект эпистемической теории игр, позволяющий определить категорию рациональности и общей веры в рациональность. Под верой понимается вероятностное распределение на неком пространстве неопределённости — например, на множестве стратегий другого игрока (однако элементы пространства могут иметь и экзогенную природу). Концепция иерархии вер введена Мертенсом и Замиром. Иерархию вер можно задать напрямую, либо с помощью дополнительной структуры — типов игроков. Веры о поведении оппонентов представляют собой первый уровень иерархии. Видно, что в таком построении интроспективные веры отсутствуют, то есть игрок не сталкивается с неопределённостью в отношении собственных стратегий (и не сталкивается с более сложными, философскими интерпретациями). Второй уровень иерархии — веры игрока о стратегиях других игроков и их верах первого порядка. Следуя этому принципу, можно выстроить n-й уровень иерархии.

Подход на основе типов предложен Джоном Харсаньи, который использовал его для моделирования игр с неполной информацией. Тип — это свойство, характеризующее игрока и позволяющее определить другие полезные объекты, в том числе функцию веры.

Формализация

Рассмотрим случай двух игроков. Пусть $\Delta (Y)$ обозначает множество вероятностных распределений для любого конечного множества $Y$. Имеем игру $G=(I,(S_{i},u_{i})_{i\in I})$, где множества $I$ и $S_{i}\forall i$ конечны, $u_{i}:S_{i}\times S_{-i}\rightarrow \mathbb {R}$.

Обозначим пространство неопределённости $X_{-i}$. Если предметом неопределённости являются стратегии других игроков, то $X_{-i}=S_{-i}$. Тогда вера первого порядка i-го игрока $p_{i}^{1}$ принадлежит множеству распределений на $S_{-i}$, $p_{i}^{1}\in \Delta (S_{-i})$.

Вера второго порядка представляет собой меру на декартовом произведении $S_{-i}$ и $\Delta (S_{i})$ (множестве распределений на пространстве вер о стратегиях всех игроков, в том числе i), $p_{i}^{2}\in \Delta (S_{-i}\times \Delta (s_{i}))$.

Иерархия вер — это последовательность $(p_{i}^{1},p_{i}^{2},p_{i}^{3},...)$.

См. также

• Байесовская игра

Литература

• Dekel E., Siniscalchi M. Epistemic game theory. — 2014.
• Mertens J.-F., Zamir S. Formulation of Bayesian analysis for games with incomplete information. — 1985.