Инварианты Карминати — Макленахана

В общей теории относительности инварианты Карминати — Макленахана (англ. Carminati-McLenaghan invariants, CM scalars) составляют один из наборов скалярных инвариантов кривизны. Они включают в себя 16 скаляров, получаемых из тензора Римана.

Определение

Инварианты Карминати — Макленахана состоят из 6 действительных скаляров и 5 комплексных (всего 16 действительных чисел). Они определяются через тензор Вейля $C_{abcd}$, его левый (или правый) дуальный тензор ${{}^{\star }C}_{acdb}$, тензор Риччи $R_{ab}$ и его бесследовую часть $S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,R\,g_{ab}.$

Действительные скаляры:

1. $R={R^{m}}_{m}$ (скалярная кривизна, след тензора Риччи),
2. $R_{1}={\frac {1}{4}}\,{S^{a}}_{b}\,{S^{b}}_{a}$,
3. $R_{2}=-{\frac {1}{8}}\,{S^{a}}_{b}\,{S^{b}}_{c}\,{S^{c}}_{a}$,
4. $R_{3}={\frac {1}{16}}\,{S^{a}}_{b}\,{S^{b}}_{c}\,{S^{c}}_{d}\,{S^{d}}_{a}$,
5. $M_{3}={\frac {1}{16}}\,S^{bc}\,S_{ef}\left(C_{abcd}\,C^{aefd}+{{}^{\star }C}_{abcd}\,{{}^{\star }C}^{aefd}\right)$,
6. $M_{4}=-{\frac {1}{32}}\,S^{ag}\,S^{ef}\,{S^{c}}_{d}\,\left({C_{ac}}^{db}\,C_{befg}+{{{}^{\star }C}_{ac}}^{db}\,{{}^{\star }C}_{befg}\right)$.

Комплексные скаляры:

1. $W_{1}={\frac {1}{8}}\,\left(C_{abcd}+i\,{{}^{\star }C}_{abcd}\right)\,C^{abcd}$,
2. $W_{2}=-{\frac {1}{16}}\,\left({C_{ab}}^{cd}+i\,{{{}^{\star }C}_{ab}}^{cd}\right)\,{C_{cd}}^{ef}\,{C_{ef}}^{ab}$,
3. $M_{1}={\frac {1}{8}}\,S^{ab}\,S^{cd}\,\left(C_{acdb}+i\,{{}^{\star }C}_{acdb}\right)$,
4. $M_{2}={\frac {1}{16}}\,S^{bc}\,S_{ef}\,\left(C_{abcd}\,C^{aefd}-{{}^{\star }C}_{acdb}\,{{}^{\star }C}^{aefd}\right)+{\frac {1}{8}}\,i\,S^{bc}\,S_{ef}\,{{}^{\star }C}_{abcd}\,C^{aefd}$,
5. $M_{5}={\frac {1}{32}}\,S^{cd}\,S^{ef}\,\left(C^{aghb}+i\,{{}^{\star }C}^{aghb}\right)\,\left(C_{acdb}\,C_{gefh}+{{}^{\star }C}_{acdb}\,{{}^{\star }C}_{gefh}\right)$.

Эти инварианты имеют следующие степени относительно компонент кривизны:

1. $R$ линеен по ним,
2. $R_{1},\,W_{1}$ квадратичны,
3. $R_{2},\,W_{2},\,M_{1}$ кубичны,
4. $R_{3},\,M_{2},\,M_{3}$ имеют четвёртую степень, а
5. $M_{4},\,M_{5}$ — пятую.

Они могут быть выражены также непосредственно через спинор Риччи и спинор Вейля в формализме Ньюмана — Пенроуза (см. ссылку ниже).

Полный набор инвариантов

Вообще полное число алгебраически независимых (то есть не выражаемых друг через друга полиномиально) инвариантов пространства-времени равно 14, однако известно, что любой набор выражений, включающий полный набор инвариантов, должен быть больше этого, при этом часть инвариантов будет связана полиномиальными уравнениями, решения которых не выражаются полиномиально — сизигиями.

Для случая сферически-симметричного пространства-времени или пространства-времени с одномерной трансляционной инвариантностью (planar symmetric spacetimes) известно, что инварианты

$R,\,R_{1},\,R_{2},\,R_{3},\,\Re (W_{1}),\,\Re (M_{1}),\,\Re (M_{2})$

${\frac {1}{32}}\,S^{cd}\,S^{ef}\,C^{aghb}\,C_{acdb}\,C_{gefh}$

составляют полное множество инвариантов тензора Римана — то есть включают в себя все алгебраически независимые инварианты. В случае вакуумных, электровакуумных решений или решений с идеальной жидкостью полное множество образуют инварианты Карминати — Макленахана. В более общих случаях требуется большее число инвариантов; определение их точного числа (и возможных связей между ними) представляет собой нерешённую проблему.

См. также

• Инвариант кривизны

Литература

• Carminati, J. and McLenaghan, R. G. Algebraic invariants of the Riemann tensor in a four-dimensional Lorentzian space (англ.) // J. Math. Phys. : journal. — 1991. — Vol. 32. — P. 3135—3140. — doi:10.1063/1.529470.

Ссылки

• Сайт GRTensor II содержит мануал к одноименному пакету с определениями и разбором применений инвариантов Карминати — Макленахана.