Инвариант Шварца

Инвариант Шварца (или производная Шварца или шварциан) — дифференциальный оператор вида

$(Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2},$

где $f(z)$ — аналитическая функция. (Иногда используется обозначение $\{f,\;z\}$.)

Свойства

• Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт является главным свойством инварианта Шварца. В то время как вторая производная измеряет близость функции к линейной, инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейных функций.

• Если $f$ — аналитическая функция, а $g$ — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение $(Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)$, то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,

$(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.$

Таким образом выражение^{[прояснить]}

$(S(f))(z)\ dz^{\otimes 2}$

инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.

• Более того, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g

$S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).$

• Введём функцию от двух комплексных переменных

$F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}\right)$.

Рассмотрим выражение

${\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w}}={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}$.

Тогда производная Шварца выражается как

$(Sf)(z)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\partial w}\right\vert _{z=w}.$

• Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z

$(Sf)(z)=-\left({\frac {df}{dz}}\right)^{2}(Sz)(f)$.

Выражение $(Sz)(f)$ имеет следующий смысл: мы рассматриваем $f$ как координату, а $z(f)$ как функцию. Затем вычисляем Шварциан $z(f)$. Мы предполагаем, что $f'\neq 0$ поэтому по теореме об обратной функции $f$ действительно является локальной координатой, а $z'(f)=1/f'(z)$ (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением).

• Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида ${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0$. Тогда его два линейно независимых решения $f_{1}$ и $f_{2}$ удовлетворяют соотношению $\left(S{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)(z)=2Q(z)$.