Интеграл Коши — Лагранжа
Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. В отличие от интеграла Бернулли интеграл Коши — Лагранжа может применяться к нестационарным течениям, что позволяет применять его к анализу волн на поверхности жидкости.
Варианты названия
правитьВ русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа[1] и интеграл Лагранжа — Коши[2] используются термины интеграл Коши[3], интеграл Лагранжа[4]. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия[5], либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (англ. unsteady form of Bernoulli's equation[6], Bernoulli's theorem for unsteady potential flow[7])
Историческая справка
правитьВ общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Леонардом Эйлером[8]. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости[9] и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости[10].
Формулировка
правитьТечение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести
правитьИнтеграл Коши — Лагранжа может быть введён только для потенциальных течений идеальной жидкости, для которых вектор скорости, , выражается через потенциал скорости, , или, что то же самое, для безвихревых (англ. irrotational) течений, в которых завихренность тождественно равна нулю: [2]. В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид[11][12]
где — — давление в жидкости, — её плотность (предполагается постоянной в модели несжимаемой жидкости), — ускорение свободного падения, , , — декартовы координаты (ось направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь — некоторая функция времени, которую можно принять тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).
Общий случай
правитьВ общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, (такие течения называются баротропными). В этом случае векторное поле массовой силы (действующей на жидкость объемной силы, отнесённой к единице массы) обязательно будет потенциальным: где — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости ), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Седов Л. И., 1970, с. 149.
- ↑ 1 2 Лойцянский Л. Г., 2003, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163.
- ↑ Кочин, Кибель, Розе, 1963.
- ↑ Гидромеханика идеальной жидкости
- ↑ Ламб Г. §20 // Гидродинамика. — М.-Л.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1947. — С. 35-36. — 928 с.
- ↑ Kundu, Cohen, 2002, Unsteady Irrotational Flow, p. 121.
- ↑ Faber Т.Е. 4.3 Bernoulli's theorem for unsteady potential flow // Fluid dynamics for physicists (англ.). — Cambridge University Press, 1995. — P. 122-123. — 440 p.
- ↑
- Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1757 (1755). — Т. 11. — С. 274–315. Архивировано 7 декабря 2013 года.;
- русский перевод: Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.;
- исторический комментарий:Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII век) // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1999. — № 6. Архивировано 7 декабря 2013 года.
- ↑ Lagrange. Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. — 1781. Архивировано 7 декабря 2013 года.
- ↑ Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Sciences mathématiques et physiques. — 1827. — Т. 1.
- ↑ Лойцянский Л. Г., 2003, §48. Интеграл Лагранжа — Коши. Некоторые общие свойства безвихревого движения, с. 163—164: «Комбинация уравнений (15) и (12) при ».
- ↑ Кочин, Кибель, Розе, 1963: «уравнения (2.6), (2.7)».
Литература
править- Кочин Н. Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 1. — С. 114. — 584 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
- Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — С. 163—166. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
- Седов Л. И. Глава 11. Потенциальные течения несжимаемой жидкости. Интеграл Коши — Лагранжа // Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — С. 149—157. — 568 с.
- Kundu P. K., Cohen I. M. Fluid Mechanics (англ.). — Academic Press, 2002. — 730 p.