Спектральная плотность излучения

Спектра́льная пло́тность излуче́ния — термин в фотометрии и теории электромагнитных волн, под которым, в зависимости от контекста, может пониматься одна из следующих физических величин:

• спектральная объёмная плотность энергии излучения, то есть характеристика области пространства, в которой наличествует электромагнитное излучение. Такая величина рассчитывается как

$u_{\nu }=\langle {\frac {dW}{dV~d\nu }}\rangle \quad$ (вариант: $u_{\lambda }=\langle {\frac {dW}{dV~d\lambda }}\rangle$),

где $W$ — энергия, $V$ — объём, $\nu =\omega /2\pi$ — частота (Гц) и $\lambda$ — длина волны излучения;

• спектральная поверхностная плотность мощности излучения (также: спектральная излучательная или испускательная способность), то есть характеристика излучающей поверхности рассматриваемого тела. Эта величина определяется как

$I_{\nu }=\langle {\frac {dP}{dS~d\nu }}\rangle \quad$ (вариант: $I_{\lambda }=\langle {\frac {dP}{dS~d\lambda }}\rangle$),

где $P$ — мощность, а $S$ — площадь излучателя.

Усреднение производится по достаточно большому промежутку времени. Форма кривых спектральной плотности как функции частоты (длины волны) в паре $u_{\nu }$ и $I_{\nu }$ (или $u_{\lambda }$ и $I_{\lambda }$) одинакова. Ниже для определённости рассматривается $I$.

Если излучение равнораспределено по всем направлениям, то величина $u_{\nu }$ ($u_{\lambda }$) на расстоянии от источника порядка его линейных размеров и ближе связана с $I_{\nu }$ ($I_{\lambda }$) соотношением $u_{\nu |\lambda }=4/c\cdot I_{\nu |\lambda }$, где $c$ — скорость света.

Буквенные обозначения обсуждаемых величин не являются стандартизированными, однако в любом случае принято вводить нижний значок, указывающий на аргумент, по которому берётся интервал и от которого зависит спектральная плотность: $I_{\nu }(\nu )$ или $I_{\lambda }(\lambda )$.

Спектрограммы двух источников света: слева — лампа накаливания, справа — флюоресцентная лампа. По горизонтали отложена длина волны $\lambda$ в нм (видимый диапазон; соответствующие цвета показаны). Чёрный график — спектральная плотность излучения $I_{\lambda }(\lambda )$.

Смотря по тому, частота или же длина волны выбрана в качестве аргумента, спектральная плотность излучения $I$ в СИ будет измеряться в (Вт/м²)/Гц или в (Вт/м²)/м. Аналогично для $u$: в (Дж/м³)/Гц или в (Дж/м³)/м.

Поскольку частота и длина волны связаны как $\lambda \nu =c$, переход от $I_{\nu }(\nu )$ к $I_{\lambda }(\lambda )$ осуществляется через

$I_{\lambda }(\lambda )=I_{\nu }\left({\frac {c}{\lambda }}\right)\cdot {\frac {c}{\lambda ^{2}}}$.

Обычно (см. примеры на рисунке) энергия излучения неравномерно распределена по волнам различных длин. Поэтому спектральная плотность излучения сложным образом зависит от выбранного аргумента (в данном примере — длины волны).

Для некоторых типов источников излучения их спектральная плотность известна из фундаментальных принципов. Так, для абсолютно чёрного тела

$I_{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},\qquad I_{\lambda }={2\pi h{c^{2}} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}$,

где $T$ — температура, а $h$ — постоянная Планка. Спектр лампы накаливания (левая часть рисунка) в видимой области достаточно хорошо описывается этими формулами.

Полная интенсивность излучения (без слова «спектральная») $I$ получается интегрированием $I_{\nu }$ или $I_{\lambda }$ по выбранному аргументу. Иногда сами плотности $I_{\nu }$, $I_{\lambda }$ тоже называют интенсивностями, что не вполне корректно, но при наличии даже минимального контекста не влечёт недоразумений.

Источники

• Спектральная плотность излучения в классической электродинамике — А. И. Ахиезер, Н. Ф. Шульга, ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ В МОНОКРИСТАЛЛАХ, пункт «Спектральная плотность излучения в классической электродинамике».