Открыть главное меню

Формула Планка — выражение, описывающее спектральное распределение энергии излучения абсолютно чёрного тела.

Согласно одной из форм этого выражения, энергетическая яркость такого тела в интервале угловых частот равна , где

где постоянная Планка, постоянная Больцмана, скорость света, температура.

Формулой Планка также называют выражения для спектральной мощности излучения единицы поверхности (светимости)

и для спектральной плотности энергии излучения абсолютно чёрного тела

Можно также записать формулу Планка для интервалов линейных частот или длин волн . Учитывая, что , для спектральной плотности, например, можно получить.

и


История открытияПравить

Формула Планка первоначально была получена эмпирически, после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса (которая следует из классической электродинамики) удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн эта формула сильно расходится с экспериментом; более того, в пределе она даёт расхождение: бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Макс Планк в 1900 году сделал противоречащее классической физике предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций (квантов) энергии, величина которых связана с частотой излучения выражением:

 

Коэффициент пропорциональности,  , впоследствии назвали постоянной Планка;   = 1,054·10−27 эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы; в частности, из неё следует закон Стефана — Больцмана (также эмпирически подтверждённый). Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка: формула Вина и формула Рэлея — Джинса.

Вывод для абсолютно чёрного телаПравить

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля, любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн; каждая — с определённой угловой частотой  . Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения согласно следующей формуле:

 

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

 

Статистическая сумма   равна:

 

Свободная энергия   равна:

 

Для средней (математическое ожидание) энергии   воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца:

 ;

таким образом, средняя энергия  , приходящаяся на полевой осциллятор, равна:


 , (1)

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве, в интервале  , равно[1][2]:


 . (2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем:

 

где первое слагаемое связано с энергией нулевых колебаний, а второе — это и есть формула Планка.

Вывод, исходящий из распределения Бозе — ЭйнштейнаПравить

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Для этой статистики, среднее число частиц с данной энергией   равно:

 

По определению:

 

где   — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией, в бесконечно малой окрестности  .

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу, получим для

 

формулу Планка.

Переход к формулам Рэлея — ДжинсаПравить

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до  . При малых частотах (больших длинах волн), когда  , можно разложить экспоненту по  . В результате получим, что

 

тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея — Джинса.

  и
 

Переход к закону Стефана — БольцманаПравить

 
Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

 

Введём переменную  , тогда

 

Полученный интеграл точно равен  , и мы получаем известный закон Стефана — Больцмана:

 

Подстановка численных значений констант даёт значение для   Вт/(м2 K ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения ВинаПравить

 
Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по   и приравнять нулю (поиск экстремума)

 

Значение  , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначив  , получим уравнение:

 

Решение такого уравнения даёт  . Следовательно,

 

Численная подстановка констант даёт значение для   К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу:   мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Сивухин Д.В., Том 4 (Оптика), Москва 1980 г., § 117, Формула Рэлея — Джинса, формула 117.7, с. 692-694
  2. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1967. — Т. III. Оптика, атомная физика, элементарные частицы. — 416 с., § 52, Формула Рэлея — Джинса, формула 52.7, с. 253-258

ЛитератураПравить

СсылкиПравить