Открыть главное меню
Канторова лестница

Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции , которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».[1]

Содержание

ПостроенияПравить

СтандартноеПравить

В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части  ,   и  . На среднем сегменте полагаем  . Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах   полагается равной   и  . Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах   определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями  . На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.

По двоичной и троичной записиПравить

Любое число   можно представить в троичной системе счисления  ,  . Если в записи   встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность   даёт запись значения канторовой лестницы в точке   в двоичной системе счисления.

СвойстваПравить

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. Weisstein, Eric W. Devil's Staircase (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.