Категория 𝒪

Категория ${\mathcal {O}}$ — математический объект в теории представлений полупростых алгебр Ли. Это категория, чьи объекты — определённые представления полупростой алгебры Ли, а морфизмы — гомоморфизмы представлений.

Введение

Пусть ${\mathfrak {g}}$ — (обычно комплексная) полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана^[англ.] ${\mathfrak {h}}$ , а $\Phi$ — система корней^[англ.] и $\Phi ^{+}$ — система положительных корней. Обозначим ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ пространство корней соответствующее корню $\alpha \in \Phi$ и ${\mathfrak {n}}:=\oplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$ — нильпотентная^[англ.] подалгебра.

Если $M$ — ${\mathfrak {g}}$ -модуль и $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ , то $M_{\lambda }$ is the весовое пространство^[англ.]

M_{\lambda }=\{v\in M;\,\,\forall \,h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.

Определение категории ${\mathcal {O}}$

Объекты категории ${\mathcal {O}}$ — ${\mathfrak {g}}$ -модули $M$ , такие что

$M$ — конечнопорождённый
$M=\oplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }$
$M$ локально ${\mathfrak {n}}$ -конечен, т.е., для каждого $v\in M$ , ${\mathfrak {n}}$ -модуль порождённый $v$ — конечномерный.

Морфизмы этой категории — ${\mathfrak {g}}$ -гомоморфизмы этих модулей.

Базовые свойства

У каждого модуля в категории ${\mathcal {O}}$ есть конечнопорождённое весовое пространство^[англ.].
Каждый модуль в категории ${\mathcal {O}}$ — Нётеров модуль.
${\mathcal {O}}$ — абелева категория
У ${\mathcal {O}}$ есть достаточно много проективных и инъективных объектов.
${\mathcal {O}}$ замкнута по отношению к подмодулям, частным и конечным прямым суммам
Объекты в ${\mathcal {O}}$ $Z({\mathfrak {g}})$ -конечны, т.е., если $M$ объект и $v\in M$ , то подпространство $Z({\mathfrak {g}})v\subseteq M$ порождённое $v$ под действием центра^[англ.] универсальной обёртывающей алгебры, конечномерное.

Примеры

Все конечномерные ${\mathfrak {g}}$ -модули и их ${\mathfrak {g}}$ -гоморфизмы принадлежат категории ${\mathcal {O}}$ .
Модуль Верма^[англ.] и обобщенные модули Верма^[англ.] и их ${\mathfrak {g}}$ -гомоморфизмы принадлежат категории ${\mathcal {O}}$ .

См. также

Литература

Humphreys, James E. (2008), Representations of semisimple Lie algebras in the BGG category O (PDF), AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2012, Дата обращения: 23 сентября 2018 Архивная копия от 21 марта 2012 на Wayback Machine