Квадратное треугольное число

В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.

Например, число 36 является и квадратным (), и треугольным :

******
******
******
******
******
******
*
**
***
****
*****
******
*******
********

Квадратные треугольные числа образуют последовательность:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, … (последовательность A001110 в OEIS).

Формулы

править

Будем записывать Nk для k-го квадратного треугольного числа, sk и tk для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда

 

Последовательности Nk, sk и tk присутствуют в OEIS (A001110, A001109 и A001108 соответственно).

В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу[1][2]:12—13

 

Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:

 

Соответствующие явные формулы для sk и tk[2]:13:

 

и

 

Уравнение Пелля

править

Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом[3]:

любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что

 

Умножая левую и правую часть на 8 и выделяя полный квадрат, получим

 

подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение

 

которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служат числа Пелля Pk[4]

 

и потому все решения задаются формулами

 

Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.

Рекуррентные отношения

править

Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем[5]:(12)

 
 

А также[1][2]:13

 
 

Другие свойства

править

Все квадратные треугольные числа имеют вид b2c2, где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2[6].

А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно[7]:

Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:

 

И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трёх квадратов:   (очевидно),   (n-ое треугольное число — по предположению является квадратом) и   (очевидно).

Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет[8]:

 

Численные значения

править

С увеличением k, отношение tk / sk стремится к  , а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к  .

 

Примечания

править
  1. 1 2 Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers (англ.). — Providence: American Mathematical Society, 1999. — Vol. 2. — P. 16. — ISBN 978-0-8218-1935-7.
  2. 1 2 3 Euler, Leonhard[англ.]. Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers) (лат.) // Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg. — 1813. — Vol. 4. — P. 3—17. Архивировано 22 октября 2013 года.. — «According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.».
  3. Barbeau, Edward. Pell's Equation (англ.). — New York: Springer, 2003. — P. 16—17. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95529-2.
  4. Hardy, G. H.; Wright, E. M.[англ.]. An Introduction to the Theory of Numbers (англ.). — 5th. — Oxford University Press, 1979. — P. 210. — ISBN 0-19-853171-0.. — «Theorem 244».
  5. Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Ball, W. W. Rouse[англ.]; Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays (англ.). — New York: Dover Publications, 1987. — P. 59. — ISBN 978-0-486-25357-2.
  7. Pietenpol, J. L.; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M Warten. Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — Mathematical Association of America, 1962. — February (vol. 69, no. 2). — P. 168—169. — ISSN 00029890. — JSTOR 2312558.
  8. Plouffe, Simon 1031 Generating Functions (PDF) A.129. University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (August 1992). Дата обращения: 11 мая 2009. Архивировано 6 февраля 2013 года.

Ссылки

править