Ковариант Фробениуса

Коварианты Фробениуса квадратной матрицы $A$ — специальные многочлены, а именно проекторы $A_{i}$, связанные с собственными значениями и векторами матрицы $A$. Коварианты названы именем немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса.

Каждый ковариант является проектором на собственное пространство, связанное с собственным значением $\lambda _{i}$. Коварианты Фробениуса являются коэффициентами формулы Сильвестра, которая выражает матричную функцию $f(A)$ как матричный многочлен.

Формальное определение

Пусть A будет диагонализируемой матрицей с собственными значениями $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$.

Ковариант Фробениуса $A_{i}$ для $i=1,\dots ,k$ — это матрица

$A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}E)~.$

По существу, это многочлен Лагранжа с матрицей в качестве аргумента. Если собственное значение $\lambda _{i}$ простое, то, как матрица проецирования, не меняющая одномерного пространства, $A_{i}$ имеет единичный след.

См. также: Резольвента интегрального уравнения

Вычисление ковариантов

Фердинанд Георг Фробениус (1849–1917), немецкий математик, известный своим вкладом в теорию эллиптических функций, теорию дифференциальных уравнений и, позднее, в теорию групп.

Коварианты Фробениуса матрицы $A$ могут быть получены из любого спектрального разложения матрицы $A=SDS^{-1}$, где $S$ не вырождена, а $D$ – диагональная матрица с $D_{ii}=\lambda _{i}$. Если $A$ не имеет кратных собственных значений, то пусть $c_{i}$ будет $i$-м правым собственным вектором матрицы $A$, то есть $i$-м столбцом матрицы $S$. Пусть $r_{i}$ будет $i$-м левым собственным вектором $A$ ($i$-й строкой матрицы $S^{-1}$). Тогда $A_{i}=c_{i}r_{i}$.

Если $A$ имеет кратное собственное значение $\lambda _{i}$, то $A_{i}=\sum _{j}{c_{j}r_{j}}$, где суммирование ведётся по всем строкам и столбцам, связанным с собственным значением $\lambda _{i}$.

Пример

Рассмотрим матрицу $2\times 2$

$A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.$

Матрица имеет два собственных значения: $5$ и $-2$. Следовательно, $(A-5)(A+2)=0$.

Соответствующее собственное разложение есть

$A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.$

Следовательно, коварианты Фробениуса, явственно являющиеся проекторами, есть

${\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}$

при этом

$A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=E~.$

Заметим, что $\mathrm {tr} A_{1}=\mathrm {tr} A_{2}=1$, что и требуется.