Константа де Брёйна — Ньюмана

Константа де Брёйна — Ньюмана — это математическая константа, обозначаемая Λ. Названа в честь Николаса Говерта де Брёйна и Чарльза М. Ньюмана.

ОписаниеПравить

Рассмотрим кси-функцию Римана:

 .

Выражение   может быть представлено в виде преобразования Фурье:

 

для  . Тогда обозначим преобразование Фурье   как  :

 .

Константа определяется через нули функции H(λ, z). Она имеет вещественные нули тогда и только тогда, когда λ ≥ Λ. Константа тесно связана с гипотезой Римана относительно нулей дзета-функции Римана.

ЗначениеПравить

Де Брёйн показал[1] в 1950 году, что H имеет только вещественные нули при λ > 1/2, а кроме этого, что если H имеет только вещественные нули при некотором λ, то H также имеет только вещественные нули и при бо́льших значениях λ. Указанная де Брёйном верхняя граница Λ ≤ 1/2 не была доказана вплоть до 2008 года, когда Haseo Ki, Young-One Kim и Jungseob Lee доказали[2], что Λ < 1/2, сделав доказательство строгим[3].

По состоянию на май 2018 года, лучшая верхняя граница константы Λ ≤ 0,22[4][5].

Серьёзные расчёты по нахождению нижней границы производились с 1988 года и продолжаются до сих пор (по состоянию на 2018 год):

Год Нижняя граница Λ
1988 −50
1991 −5
1990 −0.385
1994 −4.379×10−6
1993 −5.895×10−9[6]
2000 −2.7×10−9[7]
2011 −1.1×10−11[8]
2018 ≥ 0[9][10]

Так как   является преобразованием Фурье  , то H имеет представление Винера-Хопфа:

 ,

которое действует только для неотрицательных значений λ. В пределе λ стремится к 0, тогда   в случае, если λ отрицательна, H определяется следующим образом:

 .

Здесь A и B — вещественные константы.

В январе 2018 года Брэд Роджерс и Теренс Тао опубликовали статью на arXiv.org, в которой они утверждают, что константа де Брейна-Ньюмана неотрицательна[9][10][5].

ПримечанияПравить

  1. Nicolaas Govert de Bruijn. The Roots of Triginometric Integrals (англ.) // Duke Math. J.. — 1950. — Vol. 17, no. 3. — P. 197–226.
  2. Haseo Ki, Young-One Kim, Jungseob Lee. On the de Bruijn–Newman constant (англ.) // Advances in Mathematics. — 2009. — Vol. 222, no. 1. — P. 281—306. — ISSN 0001-8708.
  3. Zero-free regions.
  4. Going below Λ ≤ 0.22?.
  5. 1 2 Charles M. Newman, Wei Wu. Constants of de Bruijn-Newman type in analytic number theory and statistical physics. arXiv:1901.06596 [math-ph] (19 января 2019). Дата обращения: 15 марта 2019.
  6. G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S Varga. A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn–Newman constant Lambda (англ.) // Electronic Transactions on Numerical Analysis. — 1993. — Vol. 1. — P. 104–111.
  7. Andrew Odlyzko. An improved bound for the de Bruijn–Newman constant (англ.) // Numerical Algorithms. — 2000. — Vol. 25. — P. 293—303.
  8. G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga. An improved lower bound for the de Bruijn–Newman constant (англ.) // Mathematics of Computation. — 2011. — Vol. 80, no. 276. — P. 2281–2287.
  9. 1 2 Brad Rodgers, Terence Tao. The De Bruijn–Newman constant is non-negative. — 2018.
  10. 1 2 The De Bruijn-Newman constant is non-negative (19 января 2018).