Конус нормалей

Конус нормалей (англ. normal cone) — обобщение понятия нормали на случай множества с негладкой границей. Для построения конуса нормалей требуется только структура гильбертова пространства и выпуклость множества, к которому строится конус нормалей.

Понятие конуса нормалей широко используется в современной математике при описании контактной (негладкой) динамики.

Определение

Пусть в гильбертовом пространстве $H$ имеется выпуклое множество $C\subset H$ и точка $x\in H$. Конусом нормалей (внешним конусом нормалей) к множеству $C$ в точке $x$ называется множество $N_{C}(x)\subset H$, определенное по формуле:

$N_{C}(x)={\begin{cases}\{y\in H:(y,\xi -x)\leqslant 0\},&x\in C\\\phi ,&x\not \in C\end{cases}}$

Связанные факты и определения

• В некоторых источниках определение конуса нормалей может содержать только формулировку для $x\in C$.
• Если $x$ лежит во внутренности $C$, то $N_{C}(x)=\{0\}$.
• Для выпуклого множества $C\subset H$ и точки $x\in H$ существует единственная $y\in C$, такая что

$\|x-y\|=\mathrm {dist} (x,C){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\inf\{\|x-\xi \|:\forall \xi \in C\}$.

При этом пишут, что $y=\mathrm {proj} (x,C)$ или $y=\mathrm {prox} (C,x)$.

Для выпуклого множества $C\subset H$ и точки $x\in H$

$y=\mathrm {proj} (x,C)$ тогда и только тогда, когда $x-y\in N_{C}(y)$.

Конусом касательных называется полярный конус к конусу нормалей в данной точке $x$:

$T_{K}(x)=N_{K}^{*}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\{y\in V|\forall \xi \in N_{K}(x):\langle y,\xi \rangle \leqslant 0\}$

См. также

• Гильбертово пространство
• Выпуклое множество
• Метрика Хаусдорфа

Литература

• Moreau J. J. Numerical aspects of the sweeping process // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 1999. — № 177. — С. 329—349. Архивировано 16 июня 2015 года.
• Markus Kunze, Manuel D. P. Monteiro Marques. An Introduction to Moreau’s Sweeping Process. Impacts in Mechanical Systems // Lecture Notes in Physics. — 2000. — P. 1—60.