Круговая орбита

Круговая орбита — орбита, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центральной точки, создаваемая обращающимся вокруг неподвижной оси телом. Может рассматриваться как частный случай эллиптической орбиты при нулевом эксцентриситете. В Солнечной системе почти круговые орбиты у Венеры (эксцентриситет 0,0068) и Земли (эксцентриситет 0,0167).

Круговая орбита представлена в верхнем левом углу диаграммы. Гравитационный колодец центральной массы показывает потенциальную энергию; красным цветом показана кинетическая энергия. Высота области кинетической энергии остаётся постоянной при движении по окружности с постоянной скоростью.

Далее будет рассматриваться понятие круговой орбиты в астродинамике и небесной механике. Центростремительной силой является гравитационная сила. Указанная выше неподвижная ось проходит через притягивающий центр перпендикулярно плоскости орбиты.

Для данной орбиты не только расстояние от центра, но и линейная скорость, угловая скорость, потенциальная и кинетическая энергии являются постоянными. Перицентра и апоцентра нет. У круговой орбиты нет аналога среди радиальных траекторий.

Ускорение на круговой орбите

Нормальное ускорение (перпендикулярное скорости) изменяет направление вектора скорости. Если оно постоянно по величине и меняется вместе с направлением скорости, то мы имеем круговое движение. Выполняется следующее равенство:

$a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r},$

где

• $v\,$ — орбитальная скорость обращающегося тела,
• $r\,$ — радиус круговой орбиты,
• $\omega \$ — угловая скорость, измеряемая в радианах в единицу времени.

Если единицей измерения $\mathbf {a}$ выбрать метры, делённые на секунду в квадрате, то единицей измерения $v\,$ будут метры в секунду, $r\,$ — метры, $\omega \$ — радианы в секунду

Скорость

Относительная скорость является постоянной:

$v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}},$

где

• G — гравитационная постоянная,
• M — сумма масс обоих тел (M₁+M₂), хотя на практике, если масса одного из компонентов значительно превышает массу второго, то массой второго тела пренебрегают, что несильно сказывается на результате,
• $\scriptstyle \mu =GM\,$ — гравитационный параметр.

Уравнение движения

Уравнение орбиты в полярных координатах, показывающее в общем случае связь r и θ, упрощается до вида

$r={{h^{2}} \over {\mu }},$

где

• $h=rv$ — угловой момент обращающегося тела, приходящийся на единицу массы.

$\mu =rv^{2}$.

Угловая скорость и орбитальный период

$\omega ^{2}r^{3}=\mu ,$

следовательно орбитальный период ($T\,\!$) можно вычислить как

$T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}.$

Сравним две пропорциональные величины, время свободного падения (время падения на точечную массу из положения в состоянии покоя)

$T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}$ (17.7 % периода обращения по круговой орбите)

и время падения на точечную массу по радиальной параболической траектории

$T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}$ (7.5 % периода обращения по круговой орбите).

Тот факт, что формулы отличаются только константой, можно вывести из анализа размерностей.

Энергия

Орбитальная энергия ($\epsilon \,$), рассчитанная на единицу массы, отрицательна,

${v^{2} \over {2}}=-\epsilon ,$

$-{\mu \over {r}}=2\epsilon .$

Следовательно, теорему о вириале можно применить даже без усреднения по времени:

• кинетическая энергия системы равна по модулю полной энергии,
• потенциальная энергия равна удвоенному значению полной энергии.

Скорость убегания равна круговой скорости, умноженной на √2: в таком случае сумма кинетической и потенциальной энергии обратится в ноль.

Орбитальная скорость в общей теории относительности

В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты радиуса $r$ определяется следующим выражением:

$v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}},$

где $\scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ — радиус Шварцшильда центрального тела.

Вывод уравнения

Для удобства будем использовать единицы измерения, в которых $\scriptstyle c=G=1$.

4-вектор скорости для тела на круговой орбите задаётся выражением

$u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})$

($\scriptstyle r$ постоянно на круговой орбите, координаты можно выбрать таким образом, что $\scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}$). Точка над символом переменной обозначает производную по собственному времени $\scriptstyle \tau$.

Для массивной частицы компоненты 4-вектора удовлетворяют уравнению

$\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1.$

Используем уравнение геодезической линии:

${\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0.$

Единственное нетривиальное уравнение при $\scriptstyle \mu =r$:

${\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0.$

Отсюда получаем

${\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}.$

Подставляем данное выражение в уравнение для массивной частицы:

$\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1.$

Следовательно

${\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}.$

Предположим, что наблюдатель находится на радиуса $\scriptstyle r$ и не движется относительно центрального тела, то есть его 4-вектор скорости пропорционален вектору $\partial _{t}$.

$v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)$

Произведение 4-векторов скорости наблюдателя и обращающегося тела приводит к выражению

$\gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}.$

Отсюда получаем выражение для скорости:

$v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}$

или, в единицах СИ,

$v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}.$

Ссылки

• Lissauer, Jack J. Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability / Jack J. Lissauer, Imke de Pater. — New York, NY, USA : Cambridge University Press, 2019. — P. 604. — ISBN 9781108411981.