Кулоновская волновая функция

В математике кулоновская волновая функция — это решение уравнения для кулоновских функций, названного в честь Шарля Огюстена де Кулона. Кулоновские функции используются для описания поведения заряженных частиц в кулоновском потенциале и могут быть записаны в терминах конфлюэнтных гипергеометрических функций или функций Уиттекера комплексного аргумента.

График нерегулярной кулоновской функции G, построенный от 0 до 20 при наличии взаимодействий отталкивания и притяжения (построено в Mathematica 13.1)

График регулярной кулоновской функции на комплексной плоскости

Уравнение для кулоновских функций

Уравнение для кулоновских функций для заряженной частицы массы $m$ представляет собой уравнение Шрёдингера в кулоновском потенциале

$\left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,$

где $Z=Z_{1}Z_{2}$ — произведение зарядов частицы и источника поля (в единицах элементарного заряда, $Z=-1$ для атома водорода), $\alpha$ — постоянная тонкой структуры и $\hbar ^{2}k^{2}/(2m)$ — энергия частицы. Решение данного уравнения (т. е. сами кулоновские функции) можно найти, решая уравнение в параболических координатах

$\xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.$

В зависимости от граничных условий решение принимает различный вид. В частности, решениями уравнения являются функции

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,$

где $M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)$ — конфлюэнтная гипергеометрическая функция, $\eta =Zmc\alpha /(\hbar k)$, а $\Gamma (z)$ — гамма-функция. Здесь использованы граничные условия

$\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,$

соответствующие ориентированным вдоль вектора ${\vec {k}}$ плосковолновым асимптотическим состояниям, которые отвечают соответственно моментам до и после приближения частицы к источнику поля в начале координат. Функции $\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}$ связаны между собой соотношением

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.$

Разложение по парциальным волнам

Волновую функцию $\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})$ можно разложить по парциальным волнам, при этом мы получим не зависящие от угла радиальные функции $w_{\ell }(\eta ,\rho )$. Здесь и далее $\rho =kr$.

$\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.$

Каждый конкретный член разложения можно получить, найдя скалярное произведение волновой функции со сферической функцией, т. е.

$\psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.$

Уравнение для парциальной волны $w_{\ell }(\eta ,\rho )$ можно получить, записав гамильтониан в уравнении для кулоновских функций в сферических координатах и проецируя уравнение на сферическую функцию $Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})$

${\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.$

Решения данного уравнения называются кулоновскими (парциальными) волновыми функциями или сферическими кулоновскими функциями. Если положить $z=-2i\rho$, то уравнение для кулоновских функций превратится в уравнение Уиттекера, поэтому кулоновские функции могут быть записаны в терминах функций Уиттекера с мнимыми аргументами $M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )$ и $W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )$. Последнюю функцию можно выразить через конфлюэнтные гипергеометрические функции $M$ и $U$. Для $\ell \in \mathbb {Z}$ определим функции

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,$

где

$\sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )$

называется кулоновской фазой рассеяния. Также можно определить действительные функции

$F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,$

График регулярной кулоновской функции F, построенный от 0 до 20 при наличии взаимодействий отталкивания и притяжения (построено в Mathematica 13.1)

$G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.$

В частности,

$F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.$

Асимптотическое поведение кулоновских функций $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$, $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ и $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ при больших $\rho$

$H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,$

$F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,$

$G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,$

где

$\theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.$

Решения $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ соответствуют расходящейся и сходящейся сферическим волнам. Решения $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ and $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ являются действительными и называются регулярной и нерегулярной кулоновскими функциями. Справедливо следующее разложение волновой функции $\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})$ по парциальным волнам

$\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,$

Свойства кулоновских функций

Радиальные функции с заданным угловым моментом ортогональны. При выборе нормировки на волновое число $k$ радиальные функции континуума удовлетворяют

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')$

Другими часто встречающимися нормировками является нормировка на приведённое волновое число ($k/2\pi$-scale)

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,$

и также нормировка на энергию

$\int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.$

Радиальные функции, определённые в предыдущем разделе, нормированы следующим образом

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')$

как следствие нормировки

$\int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.$

Кулоновские функции континуума (или рассеяния) также ортогональны по отношению ко всем связанным кулоновским состояниям

$\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0,$

так как являются собственными состояниями одного и того же эрмитова оператора (гамильтониана), имеющими разные собственные значения.

Литература

• Bateman, Harry (1953), Higher transcendental functions (PDF), vol. 1, McGraw-Hill.
• Jaeger, J. C.; Hulme, H. R. (1935), "The Internal Conversion of γ -Rays with the Production of Electrons and Positrons", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 148 (865): 708—728, Bibcode:1935RSPSA.148..708J, doi:10.1098/rspa.1935.0043, ISSN 0080-4630, JSTOR 96298
• Slater, Lucy Joan (1960), Confluent hypergeometric functions, Cambridge University Press, MR 0107026.