Локсодрома, или локсодромия[1] (от др.-греч. «λοξός» — «косой», «наклонный» и «δρόμος» — «путь»[2]) — кривая на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под постоянным углом, называемым локсодромическим путевым углом.

Локсодрома от полюса до полюса

История

править

Введена в рассмотрение португальским математиком Нониусом в 1529 году[3].

В труде «Tiphys batavus» (1624) нидерландский математик Виллеброрд Снелл пересекающую все меридианы под постоянным углом кривую назвал «локсодромой», исследовал её. Работа состояла из двух частей — теоретической и практических упражнений с рекомендациями[4].

В геодезии и картографии

править

На поверхности Земли локсодромами являются все параллели (путевой угол может быть равен 90°, 270° и т. д.) и все меридианы (путевой угол 0°, 180° и т. д.). Локсодромы под остальными углами являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам. Тем не менее, если путешественник будет двигаться по любой локсодроме (кроме параллелей) с постоянной скоростью не останавливаясь, то он обязательно придёт к одному из полюсов за конечное время. Картографическая проекция, в которой все локсодромы изображены прямыми, называется проекцией Меркатора.

В навигации

править

Если передвигаться с фиксированным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или геоид, то траектория движения объекта и будет локсодромией[5]. Локсодрома не является кратчайшим путём между двумя пунктами (исключение — меридианы и экватор). Тем не менее, в старину суда и путешественники нередко двигались по локсодромам, так как идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компаса мореплаватели перешли на движение по «магнитным локсодромам», то есть по линиям с постоянным углом к магнитному северу, что дало возможность продолжать движение и в облачную погоду. Но как только были выяснены магнитные склонения во всех местах Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Даже в XX веке локсодромия использовалась при расчёте требуемого курса при прокладке маршрута самолётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с достаточной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла, начали активно применять ортодромию (кратчайший путь), особенно для дальних маршрутов самолётов[6].

Построение локсодромы сферы

править
 
Отрезок локсодромы, от экватора до полюса

Для того чтобы на полётных картах проложить локсодромический путь, необходимо соединить конечные точки маршрута прямой линией и измерить путевой угол у среднего меридиана. Точнее, локсодромический путевой угол рассчитывается как средний угол, снятый у начальной и конечной точек маршрута. После этого полученный путевой угол строят последовательно у всех меридианов на карте, начиная от пункта вылета. Полученная при построении ломаная линия практически близко подходит к локсодромии. Более точно локсодромический путевой угол   может быть вычислен по формуле:

 ,

  • где   — искомый путевой угол;
  •   и   — широты пунктов вылета и прибытия;
  •   и   — долготы этих пунктов;
  •   — средняя широта перелёта.

Пример. Определить истинный локсодромический путевой угол   при полёте из г. Реймса в г. Потсдам.

Решение. Определяем координаты:

 — Реймса  
 — Потсдама  

средняя широта  ;  . Следовательно,

 ,
 .

Полученный результат будет правильным, если конечная точка маршрута лежит в первой четверти (0 — 90°). Если конечная точка лежит во второй четверти (90° — 180°), искомый путевой угол получают, вычитая полученное число градусов из 180°. Если же конечная точка находится в третьей четверти (180° — 270°), к полученному углу прибавляют 180°, а если в четвёртой четверти (270° — 360°), то полученный угол вычитают из 360°.

Длина локсодромии в км определяется по формулам:

а) Для углов  , близких к 0° или 180°,

 км,

где   и   — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в минутах, или

 км,

где   и   выражены в градусах.

б) Для углов  , близких к 90° или 270°,

 км.

Разность между длинами локсодромии и ортодромии DS достигает своей максимальной величины при полёте вдоль параллели.

Так, например, длина локсодромии между Реймсом и Потсдамом из предыдущего примера может быть приближённо вычислена по формуле:

 км.

Формулы в декартовых координатах

править

Параметрические формулы, задающие локсодрому с путевым углом   на сфере радиуса   в декартовой системе координат, имеют вид:

 
 
 

где параметр   изменяется от 0 до   и является долготой точки. Здесь   и   — гиперболические косинус и тангенс.

См. также

править

Примечания

править
  1. Локсодромия // Морской энциклопедический справочник / Под ред. Н. Н. Исанина. — Ленинград: Судостроение, 1987. — Т. 1. — С. 398. — 512 с. — 30 000 экз.
  2. Исторический словарь галлицизмов русского языка. — М.: Словарное издательство ЭТС. Николай Иванович Епишкин. 2010
  3. Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. III, n. 39.
  4. MacTutor.
  5. Это нетрудно доказать, используя определения путевого угла и определение локсодромии.
  6. Для экономии топлива и сокращения времени в пути.

Ссылки

править